关键词：数学思想教学方法探讨
1.数学思想方法教学的心理学意义
（1）“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为：“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义”，使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。
（2）有利于记忆。布鲁纳认为：“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生”。
（3）学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。布鲁纳认为：“这种类型的迁移应该是教育过程的核心――用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为：“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的。”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明：“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
2.中学数学教学内容的层次
中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次，一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步学习和领悟相关的深层知识。深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水、无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。
3.中学数学中的主要数学思想和方法
数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：（1）这三个思想几乎包摄了全部的中学数学内容；（2）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；（3）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；（4）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。
此外，符号化思想、公理化思想及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识、经验及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学的角度出发，本着数量不宜过多的原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。
4.数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性。基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：操作―掌握―领悟。对此模式说明如下：（1）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的。（2）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础。（3）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提。（4）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所领悟、有所体会。（5）数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些。
参考文献：
［1］布鲁纳.教育过程.上海人民出版社.
【关键词】知识竞争力；高校；评估
所谓“高校知识竞争力”，即一定区域内的高等学校具有的知识创新能力及知识转化能力。对高等院校知识竞争力指数的测度与评价，是从知识竞争力的角度衡量一定区域内高等教育质量水平的新视角，也是衡量一定区域内高等院校知识竞争优势的关键。
1.山西省14所高校知识竞争力指数的测度
1.1评价对象的选择
本次测评选择了山西省具有代表性的14所高校：山西大学，太原理工大学，中北大学，山西医科大学，山西农业大学，太原科技大学，山西师范大学，山西财经大学，运城学院，长治医学院，忻州师范学院，太原师范学院，山西大同大学，山西大学商务学院。这14所高等院校包括了山西省一本、二本及三本三种类型的学校。
1.2数据来源及其处理
本次测度的数据采集主要通过以下两个途径：（1）权威机构的年鉴。主要数据来自国家统计局及山西省统计局，山西省教育局，教育权威研究机构等出版的资料汇编、年鉴及报表。（2）权威机构的网站和数据库。包括国家教育、科技等主管部门相关网站、山西省教育网站，山西省教育统计数据资料，国内外有关数据库，山西省各高校网站、媒体报道和报刊杂志书籍等渠道。
本次测度主要采用2010年度的数据。对于缺损数据，按2008与2009年的平均数据处理。数据处理方法主要是：（1）消除指标量纲，进行指标“价值”量化；（2）利用计算熵值和差异系数对数据加权综合评价。本次测度的一、二级指标的权重见表1，三级指标的权重在此省略。
1.3评价方法
（1）指标体系
本指标体系包括一至三级指标。其中一级指标5个，二级指标11个，三级指标77个（见表1）。
（2）评价方法
评价方法采用直线型模糊隶属度函数对基础指标数据进行无量纲处理、消除指标量纲影响，采用熵权法和量化值加权函数法结合进行评价，科学确定出各个指标在整个指标体系中的权重，建立起最基本、最简洁的体系，最终达到诸指标之间的差别直观化、简单化和可操作化的目的。最后采用SPSS统计分析软件对关键因素进行相关性分析，主成分分析和因子分析，分析关键因素之间的关系，找出内因和外因对结果的影响，各个关键因素对高校知识竞争力的影响。
2.山西省14所高校知识竞争力指数的排名与评价
2.1山西省高校知识竞争力指数排名
（1）总排名
排名第一的是山西大学，位居前四位的分别是山西大学、太原理工大学、中北大学、山西医科大学，领先高校的知识竞争力指数综合得分都大于1。较为落后高校的知识竞争力指数综合得分小于1。（表2）
（2）山西省各高校知识竞争力指数的五大关键要素排名
在高校知识竞争力五要素指数排名中，山西大学在高校知识产出与转化、高校知识资本、高校知识创新、金融资本四项知识竞争力指数方面居于首位。太原理工大学的高校基础设施指数处于领先地位。结果还显示，高校知识产出与转化指数，排在前三位的山西大学、太原理工大学、中北大学处于领先地位，而且彼此之间的指数值差距不大，而排名较后的高校与前三位的差距较大（表2）。
2.2分析与评价
2.2.1关键要素的相关性评价
为了更好地体现高校知识资本、高校知识基础设施、高校金融资本及高校知识创新能力等关键因素对山西省高校知识经济产出与知识转化能力的相关性，利用spss18.0对其进行回归分析，分析结果如表3。
由表3可以看出：
①山西省高校知识创新能力与知识经济产出与知识转化能力具有很高的相关性。
②山西省高校知识资本对其知识经济产出的贡献率非常大。高校对知识资本存量的投入越大，其知识经济产出的成果越多，其知识竞争力越强。
③在剔除了其他三个因素的贡献后，山西省高校知识创新能力对其知识经济产出与知识转化能力的贡献尤为明显。
2.2.2综合评价
（1）山西省高校知识资本分析
山西省一本类院校比二、三本类院校在知识资本存量上占明显优势。高校科研产出中被核心期刊、被CSCD收录论文数、被SCI收录论文数、被CA收录论文数、被CSSCI收录论文数、被EI收录论文数、被CSCD收录论文数占的比重很大。作为地方性大学，在人才培养士生培养和硕士生培养率低，社会声誉及国家声誉处于明显劣势。目前面临的最大威胁是大多数高校重视理论研究，忽视对知识成果的转化与知识经济的产出。
（2）山西省高校知识基础设施分析
2010年度，在高校知识基础设施要素中，太原理工大学的高校知识基础设施指数位于第一，其占地面积、生均电脑拥有数量、语音实验室数量、多媒体教室数量指数值较高，知识基础设施结构完善。二、三本类院校知识基础设施相对落后，特别是知识网路建设方面比较落后。山西大同大学、山西大学商务学院的基础设施指数排名分别为第13、14。
（3）山西省高校金融资本分析
2010年度，在金融资本要素中，山西大学在各项科研项目部级课题项目经费、省市级课题项目经费、校级科研项目经费投入很高。太原理工大学的金融资本排名第二，其有关教师工资、硕士生培养经费、设立奖学金项数投入的资金较高。山西大同大学、山西大学商务学院分别排名第13、14。山西省高校在金融资本方面差距较大，一本类院校国家投入经费多，一本、三本类院校的社会办学投入经费相对较多：奖励总金额的贡献率高。但普遍对教师工资的投入较低，对本科生培养的经费少。
关键词：逻辑演绎推理掌握应用
发展学生初步的逻辑思维能力是小学数学教学的主要任务之一。结合教学内容科学地、有意识地将逻辑规律引进教学，在教学过程中加以渗透，既有利于小学生掌握数学基础知识和基本技能，又能培养他们的初步逻辑思维能力。
一、知识结构、逻辑推理及相互间的关系。
在小学数学教学中，构建良好的数学知识结构是培养发展学生逻辑思维能力的一个重要途径。而知识体系因为其内在的逻辑结构而获得逻辑意义。数学中基本的概念、性质、法则、公式等都是遵循科学的逻辑性构成的。
“数学作为一种演绎系统，它的重要特点是，除了它的基本概念以外，其余一切概念都是通过定义引入的。”这种演绎系统一方面使得数学内容以逻辑意义相关联。另一方面从知识结构所蕴含的逻辑思维形式中得到的研究方法（如逻辑推理等），再去获取更多的知识。如学习“能同时被2、5整除的数的特征”时，我是通过演绎推理得到的：
所有能被2整除的数的末尾是0、2、4、6、8；
所有能被5整除的数的末尾是0、5；
因此，能同时被2、5整除的数的末尾是0。
数学中的这种推理形式一经被学生所掌握，他们又会运用它在原有知识的基础上做出新的推理和判断。学生知识的习得和构建，主要依赖认知结构中原有的适当观念，去影响和促进新的理解、掌握，沟通新旧知识的互相联系，形成新的认知结构系统，这是数学知识学习过程中的同化现象。它包含三方面的内容：一是新旧知识建立下位联系；二是新旧知识建立上位联系；三是新旧知识建立联合意义。这三方面与逻辑结构中的三类推理恰好建立相应的联系。推理，是从一个或几个已知的判断得出新的判断的过程。通常有：演绎推理（从一般性的前提推出特殊性结论的推理）；归纳推理（从特殊的前提推出一般结论的推理）；类比推理（从特殊的前提推出特殊结论的推理或从一般前提推出一般结论的推理）。
在教学的过程中，教师结合教学内容，有意识地把逻辑规律引入教学，注意示范、点拨，显然是有利于发展学生的逻辑思维能力。
二、逻辑推理在教与学过程中的应用。
1、如果原有的认知结构观念极其抽象，概括性和包容性高于新知识，新旧知识建立下位联系、新知识从属于旧知识时，那么宜适当运用演绎推理的规则，由一般性的前提推出特殊性的结论。
“演绎的实质就是认为每一特殊（具体）情况应当看作一般情况的特例”。为了得以关于某一对象的具体知识，先要找出这一对象的类（最近的类概念），再将这一对象的类的属性应用于哪个对象。如：运用乘法分配律简便运算时，学生必须以清晰、稳固的乘法分配律知识为基础，才能得出：
89×89+89=89×（89+1）=8010
这里89×89+89=89×（89+1）是根据一般性判断a×c+b×c=（a+b）×c推出的。当学生理解这种推理的顺序，且懂得要使演绎推理正确，首先要前提正确，并学会使用这样的语言：
公约数只有两个约数1的两个数是质数；
因为，11、13这两个数只有公约数1；
所以，11、13是互质数。
那么，符合形式逻辑的演绎法则就初步被学生所掌握。
2、如果原有认识结构已形成几个观念，要在原有的观念上学习一个抽象、概括和包容性高于旧知识的新知识，即新旧知识建立上位联系时，那么适当运用归纳推理的规则，可由特殊的前提推出一般性的结论。当需要研究某一对象集时，先要研究各个对象（情况），从中找出整个对象集所具有的性质，这就是归纳推理。归纳推理的基础是观察和试验，是从具体的、特殊的情况过渡到一般情况（结论、推论）。
教材中关于概念的形成，运算法则和运算定律、性质得出，一般是通过归纳推理得到的。如分数的初步认识。在学习前，学生认知结构中已有了分数的某些具体经验，加上教材提供的和教师列举的生活实例和图形。如：把一张纸平均分成五份，每份是它的1/5，把一截电线平均截成七段，每段是它的1/7，把一块饼干平均分成6份，每份是这块饼干的1/6……所有这些操作和演示都让学生认识到几分之一这个概念。随后，再认识几分之几。这种不完全的归纳推理，是在考察了问题的若干个具体特例后，从中找出的规律。（严格地说，由不完全归纳法推理得到的结论还需要论证，才能判定它的正确性。）
运用归纳推理传授知识时，要根据学生的实际经验，选取典型的特例，并能够通过典型特例的推理得出一般性的结论。又要用这个“一般结论”，去解决具体特例。在教与学的进程中，归纳和演绎不是孤立地出现的，它们紧密交织在一起。
3、如果新旧知识间既不产生从属关系，又不能产生上位关系，但是新知识同原有知识有某种吻合关系或类比关系，则新旧知识间可产生并列关系。那么可以运用类比推理。
教材中，商不变性质和分数基本性质，乘数是整数的乘法和乘数是分数的乘法等，学习这类与旧知识处于并列结合关系的新知识时，既不能以上位演绎推理到下位，又不能以下位归纳推理到上位，只能采用类比推理。如五年级学习“一辆小车平均每小时行80千米，0.5小时行了多少千米？”时，学生还无法根据小数乘法的意义列出此题的解答等式。所以，教学中一般用整数乘法中的数量关系相类推。
原有的认知结构中，整数乘法与小数乘法只是一般的非特殊的并列结合关系。新知识的学习，只能利用原有知识中的一般的和非特殊的有关内容进行同化。
由于学生们对事物间“相同程度”判断不明确，有时因为错误的类比，即“有害的”类比，而造成结论性的错误。如学了“30朵蓝花比14朵白花多16朵”，也可以说成“14朵白花比蓝花少16朵”，就把：“甲数比乙数多40%”就可以说成“乙数比甲数少40%”。教师应当及时指出这些类比错误，同时让学生懂得，由类比得出的结论必须加以验证，同时，经常作一些类比上的选择或判断性的练习，帮助他们不要做错误的类比。
2010年7月，教育部颁发的《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2022年）》明确指出，学校教育要重视对学生进行生命教育，并提出了“学会生存和生活”的具体教育目标。生命教育或者教育中的生命维度受到了教育者越来越多的关注。相关研究表明，中小学校开展“生命教育”多通过建设校园文化环境、提升师生幸福指数、举办专题生命教育课程讲座、引导学生从生活经验中学习、鼓励学生践行生命行为等方式进行，然而，较少有学校通过学科教师的课堂教学去落实生命教育。事实上，生命教育蕴藏于广阔的学科教学之中。这是因为在生命教育的形态里，“教育的过程和方法充满生命的气息，涌动着生命的活力”，而学科教学的任务就是在传播基本知识和技能的过程中，让学生得到心灵的滋润、道德的提升，教会学生如何沟通、如何创造，获得生存与生活的技能，并逐渐领悟生命的价值和意义。在传统教育中，人们往往将教育中有生命关怀、人文关怀的使命赋予文艺类学科，而数学学科则一向被视为缺失生命关怀与人文关怀的“荒漠”。这是因为数学学科知识所具有的特征（抽象性、逻辑性、演绎性、形式化、模型化等），易于让教学流于枯燥化和机械化，使得数学课堂缺乏应有的生命活力与人文气息，异化为应试教育的坚固堡垒。事实上，学科知识的呈现方式本身就充满了生命内涵，而不仅仅局限于学科内容上，这是教育者把握生命教育的关键要素之一。但在私塾时代的教育，虽然教学内容是充满人文关怀的“经典”，但“死记硬背”和“咬文嚼字”式的教学方法很难让人们感受到对生命的敬畏和热爱。
这在一定程度上说明，学科知识的特征或呈现方式并不是决定该学科是否适合开展生命教育的唯一指标，只要教师在课堂教学中，能针对数学学科特色运用有效的教学策略，依然可以很好地激发课堂上的生命活力，实现生命教育的宗旨。
第一，数学知识的应用性、情境性决定了数学课堂教学的情境性、开放性、互动性和生活化。数学知识，尤其是小学数学知识，是来自于生活且走向生活的；每一个知识点都与日常生活息息相关，并且都会有具体的应用实例与之相对应。教师如果运用教学策略得当，便可以创设出生活化、体现生命意义的学习情境，进而能充分调动学生参与学习、互动与合作的积极性。在此过程中，学生的认知得到了升华、情感得到了发展、思维得到了训练，同时，学生在沟通、交流和合作中获得了数学学科的基本知识与技能。生命教育在本质上要求课堂教学指向“涌动着生命活力”的个体，而不是培养出只会机械地计算、背诵和考试的机器。数学知识的这一特性，决定了数学课堂注入生命关怀、激发生命活力的可能性。
第二，数学知识的环环相扣以及其应用价值决定了数学学习的趣味性。数学学科有着严格的逻辑性和演绎性，数学知识每向前推演一步，都需要建立在已有知识的基础之上。所以学生在学习数学知识的过程中，会不断体验到获得新知识的成就感，对未知领域会持续产生好奇心和求知欲，数学知识的实际应用价值也能进一步巩固学生的这种情感体验。可以看出，数学知识也是鲜活的和有生命力的，它的这种鲜活性与生命力不同于人文类知识，能从另一方面给学生探索自然和宇宙奥秘提供兴趣支持。从长远而言，学生学习数学知识的过程是建立正确的“三观”过程；从近处而言，则是保证课堂生命活力的“保鲜剂”。
二、数学课堂开展生命教育的两种有效策略
从数学学科知识的上述特性出发，在数学课堂中开展生命教育的突破口也清晰地呈现出来：一是基于数学学科知识创建开放式情境课堂；二是在课堂教学中要激发与维持学生学习数学知识的动机和兴趣。
（一）基于数学学科知识创建开放式情境课堂
1．充分利用贴近生活实际的教学资源，提升学生的视觉感知，拓展学生的想象空间。我们的日常生活处处充满了数学知识，所以教师在数学教学中，要善于教导学生运用数学的视角和思维去观察现象、了解生活、认知世界，帮助学生理解数与数、数与量、数学与日常应用之间的关系，进而引导学生把生活的实际问题转化为数学问题，再由数学问题转化为数学计算。如在教学《乘车》这一数学课时，通过让学生模拟公园游览车行进过程中不断有“乘客”上下车的生活现象，从而引导学生列出数学算式：9－8＋4＝5，5＋4－1＝8，8－5－3＝0，让学生在实际生活情境中，通过亲身体验和感受习得新知。这一过程使学生认识到数学来源于生活，又是解决生活问题的基本工具，学生不仅感受到了课堂学习的乐趣，而且对社会职业和社会责任也萌生了认识。
2．创设生活教学情境，调动学生参与知识学习的积极性，鼓励学生“尽兴地问，尽情地说”。情境教学能让学生体会到一种“身临其境”“主体代入”的真实感和存在感，这样更容易调动学生的学习动机，激发学生的学习热情。情境其实是对现实场景的模拟，能营构出一种特定的创造性氛围，具有直观性和生活化的特征，学生在这样的一种场域中，每个人都可以是问题的解决者或出谋划策者，同时也是探究学习的直接参与人和知识的构建者。所以在课堂上，教师把那些需要解决的问题引入到一定的情境中，让学生自由发挥想象力和创造力，是一种适合学生发展的问题解决策略。
3．营造开放的课堂教学空间，发挥学生好动的天性，让学生快乐地玩，快乐地学。活泼好动是小学生的天性，教师应以学生的爱好和兴趣为出发点来设计教学，营造开放的数学课堂教学空间，遵循学生的发展天性。如：创设“模仿购物”“参观游玩”“争当小数学家”“自己动手做”“猜谜”等教学环节。开放的教学空间可以让学生减少对课堂规矩的畏惧感，改善学生因性格内向而表现出的不合群、不合作、不与同学沟通交流等问题。学生身处这一开放的空间，既在“玩中学”，也在“学中玩”，学习本身成为一种有趣、愉快、轻松、主动、深刻的互动行为；学生的学习积极性得到了激发，师生情感得到了交流，学生的个性也得到了张扬；课堂教学氛围轻松活泼，“自主、合作、探究”成为课堂学习的主旋律。
（二）数学课堂中学生学习动机与兴趣的激发与维持策略
学习动机是学生有效学习的重要动力源，事实上，学生带着兴趣而持续不断进行的学习活动，是最有效的“有意义”学习，因而也是闪烁着生命光芒的学习活动。教师了解学生的学习动机和兴趣点，不仅可以实现教学上的有的放矢，提高当下的教学质量，高效完成教学目标；还可以培养学生的勤奋、刻苦和奋斗精神，形成自我生命的价值。
1．设置悬念，激发学习需求，变被动接受为主动求学。个体的需求可以产生直接的动机，而学习上的需求通常表现为学生求知欲和好奇心的满足。如在教学“三角形内角和是180度”的性质时，教师可先创设悬念，即要求学生在测出任意一个三角形两个角的度数后，直接说出第三个角的度数，并让学生进行验证，此时，学生对教师所说的“答案”一定会惊讶不已。在学生困惑不解、急于知道其中的奥妙时，趁机将其带入学习主题，并提出这一知识概念，这有利于让学生形成主动获取知识的最佳状态，而且会对新知产生深刻印象，不易忘记。我国伟大教育家孔子非常贴切地将这种教学激发手段概括为“不愤不启，不悱不发”，国外心理学研究成果中的格式塔理论和顿悟理论也对此进行了论证和说明。教师在数学课堂教学时，采用生动、具体、感人的素材和事例来设下悬念，可以起到激发学习需求、产生学习动机的主动求学效果，从而提升学生学习的情感体验。
2．让学生明确知识的应用价值。让学生领悟到数学学科中某一知识点的实际操作价值，可以从根本上激发他们学习和掌握该知识的欲望。而且，对于应用性比较强的知识来说，一旦在现实生活中得到了应用和验证，学生就会在内心上肯定和认可这一学习成果，进而巩固和强化学习，增强学习动机。除此之外，这一教学策略还能培养和提高学生的实际操作和应用数学知识的能力，在此过程中，学生热爱劳动、热爱生活、勇于实践的品格也会得到培育和发展。例如：教师在教学统计图表后，可以组织学生对自己的学习成绩进行简单回顾，然后绘制统计图来说明学习上的发展变化情况。又如，计算总产量、单产量，用求最大公约和最小公倍数的方法来解决实际生活中的节约用料问题等。学生了解知识的实际用途可以唤起他们学习数学知识的内在驱动力，意识到要适应未来社会的发展需要，在当今阶段学好数学基础知识的重要性。
3．通过有效手段维持学生学习兴趣和动机的持久性。“兴趣是学生最好的老师”。然而，学生的学习兴趣容易激发，却难以持久地保持下去，所以对教师而言，能否保持学生持久的学习兴趣和动机成为他们维持课堂活力和效率高低的关键。事实上，数学知识体系本身是环环相扣且贴近学生的生活实际的。针对数学教材的这一特点，教师只要能让学生在掌握新知的过程中不断地与生活发生联系，让学生体会到解决实际问题时而产生的积极学习情感，便能极大地增强学生的自信心与成就感，也能有助于学生形成持久的学习动力。针对学生好胜心强、兴趣不稳、动机不持久等特点，教师在教学时实时、巧妙地提出一些启发性、思考性问题，让学生自主探究；针对学生的学习结果，不定期采取表扬和鼓励等手段，能使兴趣的定向和动力作用贯穿于学生认识的全过程。
此外，教师借助学生感兴趣的故事、游戏、活动来开展教学也不失为很好的策略。一方面，学生对故事、游戏、活动等有着天然的喜爱，教师如将其与数学知识进行有效结合，必将有助于刺激学生的兴奋点，保持对学习的最佳状态；另一方面，故事、游戏和活动是充满生命活力的元素，是生命关怀和人文关怀的最佳载体。如故事可以培养学生对语言与文字艺术的审美和应用，进而能引发学生思考，传播故事中的正能量；游戏与活动可以增进师生间的交流与互动，在促进学生知、情、意、行共同发展的同时，学生的健全人格也得到了培育。教师运用故事、游戏和活动来开展教学的具体方式表现为：组织学生开展数学兴趣小组、玩数学谜语游戏、演讲关于数学知识以及数学家的故事、举办数学文艺会、办数学墙报、制作教具和学具等等。
三、小结
低年级数学数学叙事叙事结构
一般来说，叙事总要受到某种内在结构逻辑的制约。然而目前的小学数学教学出于对故事的通俗性认识，多将“叙事”问题理解为“讲故事”或“以叙事的方式开展的数学教学研究”，并不看重其间的结构性特征，显然有着认知上的简化和泛化偏向。故此，就有必要对小学数学教学的叙事问题作一些理论上的辨识，而之所以选择低年级数学进行分析，又因为这一阶段知识结构的相对浅显，便于比附、构建出“故事”，更具叙“事”意义上的可显示度。
一、叙事：作为一种普适性的表述方式
人类经验基本上是故事经验，叙事作为其基本内容，已然融入到了现代社会的各个方面。在此背景下，以“讲故事”为表征的教学叙事的出现也就顺理成章了，反映出生活叙事品格在教学中的存在。如果说，历史、文学等人文科学中的叙事在于通过故事传达自身的生活经验世界，看重现实呈现和情感再现的感性结构关系，突出的是对历史认知和人文情怀的体悟，那么，数学叙事则显然不再以此为目的。它所追求的是故事背后所蕴涵的理性知识，感性故事寄予的是对理性知识结构关系的认识，而叙事是进入这一空间的门径。此时，叙事重心已从人文叙事的感性方向转向了理性方向，发生了主导层面上的逆转。显然，这种逆转是叙事顺应数学学科自身特点的适应性变化。从表层上看，这似乎背离了叙事的基本指向，但在深层上，叙事得以和数学教学共生，其实并没有离弃数学和历史、文学等人文学科一同作为生活同构物的内在设定。由此我们也就可以利用叙事方式来形象化的比附数学知识，通过故事的生活性和易感性提升知识的直观性和趣味性，延展数学知识传播的途径和能力。
二、知识的结构关系：小学数学叙事的逻辑维度
叙事总是依据一定的内在结构展开，而叙事研究也就需要深入到这一结构中去。在历史和文学等不同的人文叙事中，故事一般摆脱不了生活、情感甚至某种精神价值等内在结构的制导。然而到了数学教学过程中，叙事发生的“逆转”显然不再适用于人文叙事观念。这种“逆转”源于知识结构的特殊性。也就是说，在教学过程中，我们可以摆脱人文叙事的结构方式，转而以某种知识结构关系取代人文叙事的精神结构。数学叙事中的故事情节可以不必考虑故事的艺术性因素，不再依据故事的生动性和完整性甚至是生活的真实性等要求，而侧重于知识结构关系与故事的比附。就小学数学教学而言，为了便于知识的比附，故事在尽力维持通俗易懂的同时也就应该尽可能地和知识结构安排保持直接的关联性，努力缩短从“故事”到“知识”的心理接受距离。一般来说，这样的故事会变得篇幅短小，结构简单，内容明白浅显。这就要求教师要尽量淡化、消除故事本身可能蕴涵的社会学、文学、历史学等内容，对故事本身多做“减法”，以免“额外”附着内容过多干扰学生对于知识的理解。当然，由于知识点的众多以及故事的相对短小和普遍，也容易造成教学过程中叙事的碎片化，零散化，还需要强化知识结构的科学安排去整合和引导。事实上，在小学数学教学中，每一个数学知识点都可以有一个到多个的故事形式，但不管故事面目如何多样，围绕相关知识的结构性内容是不可能有明显变化的。因此在小学数学教学中，相同知识点的内容往往也就构成相关叙事的基本“功能”因素，教师只要围绕这种结构性的知识关系去经营教学叙事也就可以了。
三、低年级数学教学：数学叙事应用的主要阶段
小学数学教学叙事方法的应用是提升课堂教学效率的有效手段。在实际教学中，在注重叙事与知识结构关系比附的同时，讲求叙事的形象性、生动性以及与学生身心特点的充分结合和兼顾，无疑可以发挥出叙事教学的积极。这在小学数学知识的传授和练习实践等方面得到了较为充分的体现。
1.讲授：叙述中的形象直观
低年级学生以直观形象思维为主，需要教师用生动的语言帮助学生创设教学情境，把抽象的知识溶于生动有趣的故事中，让学生在叙事过程中体悟知识。比如，关于低年级的“10以内”的识数问题，虽然知识较为浅显，但仍有一个利用叙事结构优化教学方式的问题。考虑到小学生的认知特点，可以依据相关知识点编撰成诸如“数字比大小”一类的小故事，尽量突出故事内容与知识的相关性。显然，由于故事的编排和相关课程单元的知识结构有着明显的同构性，加之故事的情节性、场景性、生动性等容易使相对抽象的数学知识变得通俗易通，形象直观，完全可以强化教学的有效性。当然，此时并不需要故事的传奇性和悬念性，以及过于生动的情节、鲜明的人物形象和复杂的环境氛围，只要故事能清晰地寄寓知识内容，契合儿童身心特点，便于接受就可以了。
2.练习：知识探究的趣味性
练习是小学数学教学活动的一个重要组成部分，不仅是学生掌握数学知识，形成技能技巧的重要手段，也是培养发展学生能力、智力的重要途径。由于低年级学生具有活泼好动、自觉性和自控性差、有意注意时间短的特点，数学练习容易变得枯燥乏味，也就需要更多考虑到练习课的趣味性，以便激发孩子们参与的积极性，而充分开发、利用叙事内容的趣味性也就利于达到这一点。比如，在二年级期末时进行解决实际问题的练习时，可以把本学期所学的多种问题整合到一个故事中，要求学生阅读故事并解决文中的数学问题。笔者就利用过当前传播度很高的“喜羊羊与灰太郎”的故事来提升数学叙事的趣味度，曾编撰了一个“喜羊羊和美羊羊”开商店的故事，利用商店货物的增减、商品的买卖等情况和行为来整合知识，解决相关数学问题。
创设这类故事情境可以激发学生的学习欲望和动机，使学生自觉主动地参与练习，大大增强了练习的有效性。而类似比附性的知识教学手法在小学低年级数学教学中可谓十分常见，说明叙事教学的合理使用对于小学低年级数学教学的重要性和必要性。由于低年级学生的理性思维方式还在初成阶段，单纯的知识传授无疑不能适应他们的身心特点。通过基于知识结构关系营构出的短小精悍的趣味故事更能体现小学数学知识的阶段性特征。而随着数学知识的愈加抽象化，日常生活故事的比附已不大能适应知识结构性关系的寄寓，因此，这种方式在小学数学低年级教学中具有阶段性作用，而在高年级的数学教学中则要弱化得多。个中原因并不在于叙事已不能作为一种方法被使用，而是因为随着知识结构的复杂与难度增加，故事必然向着长度和深度发展，这就增添了教育主体营造故事的难度。因此，叙事性教学具有明显的优势，也有其显然的不足，小学数学教学对于数学叙事的使用也有一个使用的阶段和“度”的问题。
参考文献：
论文关键词：线性代数，线性关系，知识体系
线性代数这门课程有一个特点：各部分内容相对独立，整个课程呈现出一种块状结构，原因是线性代数学科的形成过程本身就没有一条明确的主线。内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、特征值问题、二次型、线性空间与线性变换。我们几乎可以找到从线性方程组、行列式、向量、矩阵、多项式、线性空间、线性变换中的任何一个分块开始展开的教材，其展开过程主要取决于作者串联这些分块的形式逻辑的脉络[1]。实际上，课程内容的展开不仅取决于课程本身的逻辑，也应该充分考虑学生的接受能力的因素。行列式、矩阵运算和方程组求解通常都被认为容易被学生理解的内容，而向量组的线性关系问题是线性代数的难点。通常的线性代数知识体系是按照由易到难道顺序安排，这样似乎可以渐进地接受难点，但实际上有以下几个弊端：（1）由于难点出现的时间较迟，学生没有机会对难点进行重复运用和消化理解就已经进入课程的尾声；（2）从心理上讲，学生学习有先入为主的现象，最开始学到的知识最容易记住，因此难点后出现也不利于学生接受；（3）运用向量组的线性关系理论可以统领线性代数的重点内容，如果不尽早引入这个理论，就不容易将块状结构有机地结合起来。
1.线性关系理论的基本概念及其表现
线性关系理论的基本概念包括：向量组的线性组合、向量的线性表示、向量组的线性相关性、向量组的线性无关性、向量组的最大无关组、向量组的秩等。
对任意一个向量组，以这个向量组为列向量组构造矩阵,可以通过对实施初等行变换判别列向量组的线性相关性，进而获得该向量组的最大无关组，同时可以获得向量组中任意一个向量由最大无关组线性表示的表示系数，也可以获得向量组的秩。可见，向量组的线性关系问题集中表现在矩阵的初等行变换过程中。可以认为数学论文，矩阵的初等行变换过程是向量组线性关系理论的外在表现。
2.基于线性关系理论的线性代数知识体系与关联
线性代数中主要问题的解决都是通过解线性方程组实现的，可以说线性代数的核心内容是线性方程组,而研究线性方程组及其解靠的是矩阵及其矩阵的初等行变换。因此，以线性方程组为出发点，可以为以后解决问题奠定基础。
通过线性方程组可以引出矩阵概念，并引出矩阵的初等行变换方法，进一步引出向量概念，以及向量的线性运算和矩阵与向量乘法运算。在这些基本概念和运算的基础上，线性方程组可以表示矩阵形式和向量形式，其中，是线性方程组的系数矩阵，为矩阵的列向量组，是线性方程组的常数列向量[2]。
由向量形式方程组进一步讨论向量组的线性关系理论，为深入研究和理解线性代数的其它问题提供理论基础。从矩阵形式的方程组出发进一步讨论矩阵运算，特别是在向量组的最大无关组和向量组的秩的概念下，矩阵的秩的定义变得很简单，逆矩阵也很容易理解。行列式可以认为是方阵中的一个特殊概念，事实上，阶行列式也可以用个为向量定义[2]。在行列式和线性方程组概念下，很自然地讨论矩阵的特征值和特征向量问题。二次型标准形问题则在特征值和特征向量概念基础上处理。线性空间和线性变换则是向量方法和矩阵方法的升华[3]杂志网。
在这种知识体系下，向量和矩阵是线性代数的核心工具，矩阵的初等变换是代数的核心方法，而向量组的线性关系理论是核心理论。矩阵的初等变换这一方法不仅可用于求解线性方程组，他还可用于求矩阵的逆矩阵；求矩阵的秩；求向量组的极大无关组及其秩；求齐次线性方程组的基础解系；求向量空间的基及维数；求特征向量；求实二次型的标准形等。而对于这些问题的理性认识则需要向量组的线性关系理论。
3.知识体系展开的基本逻辑
怎样设计线性代数课程的科学体系?这取决于我们对学科内容的本质的理解，对该学科在现代科学中的地位和作用的认识和课程的目标。在我国，理工科的线性代数教科书是把线性代数的各部分内容作为工具来掌握，而忽视了这门学科最终形成的思想基石――空间与变换，因此这样的课程并没有真正跨进线性代数的思想殿堂，顶多只能视为矩阵运算的初级教程。而我国数学专业的高等代数课程又过分沉湎于形式化概念的逻辑体系构建，而忽略了线性代数理论在现实生活中的鲜活背景和在现代科学技术中的应用前景，因此这样的课程在学完之后也不易明白学习该课程的目的和意义，甚至以为仅仅是学习其他课程的前期准备[1]。
很多文献([1][4][5])讨论了线性代数的知识体系，但是学者们基本上只考虑知识体系本身，而忽略了学生学习的心理因素。线性代数的一个公认特点是内容抽象，要真正掌握线性代数的原理与方法必须具备较强的抽象思维能力，即对形式概念的理解能力和形式逻辑的演绎能力，而这两种能力要求几乎超越了大多数学生在中学阶段的能力储备。面对抽象的课程内容和复杂度知识体系，学生在学习数学课程时往往会产生焦虑情绪[7]。按照块状结构安排线性代数的知识体系容易使学生产生焦虑情绪。
通常按照块状结构安排线性代数的知识体系，便于教师理解，但是，学生很难建立块状结构之间的联系。基于线性关系理论的线性代数知识体系是从学生认识能力出发数学论文，由现实世界的问题引出数学概念，使学生感到是因为解决现实的需要而学习新的数学概念、理论和方法。这种由现实问题到解决方法的逻辑关系称为生活逻辑，而按照块状结构形成的知识关系成为学科逻辑[7]。学科逻辑是出于本学科的研究者知识整理的需要，不适合向学生传授知识。基于线性关系理论的线性代数知识体系的基本逻辑关系是按生活逻辑展开的。首先，学生容易认识线性方程组与现实的联系，随着解决线性方程组问题过程的深化，提出矩阵和向量概念；进一步，矩阵和向量等新的元素需要进行运算，因此分别讨论向量运算（主要是线性关系理论和方法）和矩阵运算；具备了线性代数的核心工具（向量和矩阵）、核心方法（矩阵的初等变换）和核心理论（向量组的线性关系理论），就可以继续讨论特征值和特征向量，可以讨论二次型，也可以讨论线性空间和线性变换。整个线性代数知识是按照需求展开的，因此，很多过去块状结构中的知识内容（如矩阵、向量、线性方程组等）并非一次性的安排在一章之内，而是在不同的章节中逐渐深入展开。这样安排便于形成以矩阵初等变换为核心方法和向量组的线性关系理论为核心理论的主线，便于学生渐进理解线性代数的难点。
4.结论
基于线性关系理论的线性代数知识体系将线性代数知识按生活逻辑展开，以向量和矩阵为核心工具，矩阵的初等变换为核心方法，以向量组的线性关系理论为核心理论，形成线性代数的知识主线。这种知识体系便于学生理解线性代数的难点，克服学习上的焦虑情绪。
参考文献
[1]刘学质.线性代数的体系与方法[J].重庆教育学院学报,2007.20(7):142-144.
[2]PeterD.Lax.线性代数及其应用（第二版）[M].北京：人民邮电出版社,2009.
[3]王玺等.线性代数[M].上海：同济大学出版社,2009.
[4]彭德艳,金传榆.《线性代数》内容的关联性研究[J].大学数学，2007.23(1):170-175.
[5]贺继康.高等代数课程结构简论[J].陕西教育学院学报,2003.19(4):77-79.
[6]王玺.数学课堂教学中的学生情绪因素与教师行为分析[J].上海电力学院学报，2004.20(4):95-98.
[7]朱宁波,齐冰.学科课程内容组织的逻辑体系及其处理原则探析[J].辽宁师范大学学报(社会科学版)2007.30(1):61-63
[关键词]中学数学思想方法教学研究
一、数学思想方法教学的心理学意义
美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指，“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分，下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。
1.“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去，学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。
2.有利于记忆。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。www.133229.Com”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的，无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”
3.学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
4.强调结构和原理的学习，“能够缩挟‘高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等。因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。
二、中学数学教学内容的层次
中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。
表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。
深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。
那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。
三、中学数学中的主要数学思想和方法
数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：（1）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容。（2）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握。（3）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多。（4）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。
此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识、经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法，数形结合法，变换法，函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。
四、数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性。基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：操作—掌握—领悟。
对此模式作如下说明：（1）数学思想、方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识，以保证在教学过程中有明确的教学目的。（2）“操作”是指表层知识教学，即基本知识与技能的教学。“操作”是数学思想、方法教学的基础。（3）“掌握”是指在表层知识教学过程中，学生对表层知识的掌握。学生掌握了一定量的数学表层知识，是学生能够接受相关深层知识的前提。（4）“领悟”是指在教师引导下，学生对掌握的有关表层知识的认识深化，即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟，有所体会。数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程，往往是几种数学思想、方法交织在一起，在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法，效果可能更好些。
参考文献：
[1]布鲁纳．教育过程．上海人民出版社，1973．
【关键词】中学数学思想方法教学研究
新课程改革实施以来，教育理念、教学方式、评价制度等，都有了喜人的变化。但对于更加“内容”的东西，如数学思想方法的渗透、数学文化的伸张、数学思维的拓展等等。我们关注得还不够。“数学是思维的体操”“形式”的改良能让我们的数学变得富有趣味，更加接近学生的学习心理，让学生乐学，但是，数学教学的终极目标是要促进学习思维发展，而唯有“思想方法、文化、思维”等才是数学的本质，所以，我们更应追求“内容”上的到位。在这里，主要谈谈数学思想方法的渗透。任何一门学科在其发生发展过程中，都将逐步形成一套研究问题的思想方法，数学也不例外。那么何谓数学思想方法？狭义上讲，数学思想方法研究的对象是数学本身的论证、运算以及应用的思想、方法和手段。广义上讲，除了上述内容外，数学思想方法研究的对象还包括数学的对象、性质、特征、作用及其产生发展的规律。
随着数学教育改革的不断深入，关于“数学思想方法”的探索已引起了数学教育工作者的关注。过去，我们在教学中只注意具体的解题技巧、解题程序和方法，而忽略数学思想方法的教学，这在以“反复做题，总结套路，归纳成型，多题一解”为特征的题海战术中表现得尤为突出。为改变这种状况，本文试图通过学习与思考，并联系自己的教学实践，浅谈中学数学思想方法及其教学。思想是数学的灵魂，要置数学思想于数学教育的中心位置。所谓数学思想方法，就是数学研究活动中解决问题的根本想法，是对数学规律的理性认识，也是在对数学知识和方法作进一步认识和概括的基础上形成的一般性观点。
一、数学思想方法教学的心理学意义
美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理。”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。
（一）“懂得基本原理使得学科更容易理解”。心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包括和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义。”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去。学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。
（二）有利于记忆。布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来。高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具。”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法，才能随时随地发生作用，使他们受益终生。”
（三）学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心――用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的。”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
（四）强调结构和原理的学习，“能够缩挟高级知识和初级知识之间的间隙。”一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的含义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等。因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。
二、中学数学教学内容的层次需要数学思想
中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。
（一）表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。
（二）深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。
（三）那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。
三、中学数学中的主要数学思想和方法
（一）数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想。其理由是：（1）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；（2）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；（3）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；（4）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。
（二）此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。
数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。
（三）数学思想方法的教学模式。数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性。基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：
一、数学思想方法教学的心理学意义
1.心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了。下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去，学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。
2.有利于记忆。数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的，无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”
3.学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
二、初中数学教学内容的层次
初中数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识。表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。
表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识。学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。
深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识。教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。
那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛。因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。
三、初中数学中的主要数学思想和方法
数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识。由于初中生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高。我们认为，在初中数学中应予以重视的数学思想主要有三个：分类讨论思想、化归思想和对应思想。其理由是：（1）这三个思想几乎包摄了全部初中数学内容。（2）符合初中生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握。（3）在初中数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多。（4）掌握这些思想可以为进一步学习高中数学打下较好的基础。
此外，符号化思想、公理化思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识、经验以及数学思想掌握情况密切相关。从有利于初中数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法，数形结合法，变换法，函数法和分类法等。一般讲，初中数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。
四、数学思想方法的教学模式
关键词：高中数学开放式研究
一、问题背景
在应试教育体制下，高中数学注重对学生解题能力的培养，导致学生运用数学知识_放式研究的能力普遍欠缺.随着新课程改革的不断深入，以及素质教育理念的深入人心，高中数学教育逐步向培养学生的数学思维能力、数学知识运用能力转变.高中数学教学逐步向开放式研究过渡，突出了对学生进行能力培养的精神.然而，如何在开放式研究教学中实现对学生运用知识能力的培养，仍然困扰着不少高中数学教师.有些教师直接沿用以往高中数学应试化的教学方法，显然有违新课改的初衷.这就要求教师对高中数学开放式研究的教学进行科学研究.
二、高中数学开放式研究的教学难点及教学建
议
1.开放式研究教学关键在于实现学生知识和能力的统一，突出学生的主体地位.根据笔者自身的教学经验，以及对于不少高中教师和学生的调研、观察，高中生普遍存在着课本知识掌握与解决现实问题能力相脱节的问题.这种知识与能力的脱节主要表现为两种情况，一种是学生对课本知识掌握全面，然而一旦进入运用知识解决现实问题的应用环节，却难以对现实问题进行有效梳理，无法分清数据关系；另一种是学生对现实问题的内涵、数据关系有着较好把握，却由于对课本知识的掌握过于表面化、片段化而不知如何解决.高中生对实际应用类认识不够清醒，加之现实问题远比经过抽象的开放式研究更加贴近生活，关系较为复杂，问题表述的直接性及思路清晰度也不如过去的应用题.这都对教师在数学教学中深化高中生知识掌握，提高高中生知识运用能力提出了更高要求.针对以上问题，教师首先应对开放式研究对学生的能力要求和教学目标有清晰深刻的认识.开放式研究是在学生熟练掌握课本知识的前提下，对学生综合运用数学知识解决现实问题能力的考查.因此，开放式研究的情境虽然来自于现实生活，但是学生不要认为应用题的解题与课本关系不大.事实上，加强高中生对课本知识系统、深刻、熟练的掌握正是开放式研究的知识基础，思路起点.同时，学生不要认为掌握课本知识就能有效掌握开放式研究.教师还应引导学生留意生活，积累必要的生活常识.如开放式研究常见的利率问题，方案策划问题等，都需要学生有一定的常识积累.让学生将课本知识与生活积累有效结合，是开放式研究教学成功的关键.其次，要改变传统灌输式教学模式，鼓励学生讨论交流、表达自身想法.在高中数学教学中，教师要鼓励学生对现实生活中的数学问题进行讨论交流，然后针对问题进行答疑，提高学生开放式研究的能力.
一、数学思想方法教学的心理学意义
美国心理学家布鲁纳认为：“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构。”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理”。数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分。
第一，“懂得基本原理使得学科更容易理解”。
心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习。”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了，下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义”，即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去，学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。
第二，有利于记忆。
布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记。”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”
第三，学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”。
布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心——用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识。”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，
对于新学习是有利的”，“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移。”美国心理学家贾德通过实验证明，学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中。学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
第四，强调结构和原理的学习，“能够缩挟高级’知识和‘初级’知识之间的间隙。”
一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义。而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等．因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。
二、数学思想方法的教学模式
美国心理学家布鲁纳认为，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解该学科的基本结构.”所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点，或者是一般的、基本的原理.”“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的.”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分.下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义。
1.懂得基本原理使得学科更容易理解心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识，因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系，这种学习便称为下位学习.”当学生掌握了一些数学思想、方法，再去学习相关的数学知识，就属于下位学习了.下位学习所学知识“具有足够的稳定性，有利于牢固地固定新学习的意义，”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去.学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容。
2.有利于记忆
布鲁纳认为，“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面，否则很快就会忘记.”“学习基本原理的目的，就在于保证记忆的丧失不是全部丧失，而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来.高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具，而且也是明天用以回忆那个现象的工具.”由此可见，数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的.无怪乎有人认为，对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”
3.学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”
布鲁纳认为，“这种类型的迁移应该是教育过程的核心――用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识.”曹才翰教授也认为，“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念，对于新学习是有利的，”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移.”美国心理学家贾德通过实验证明，“学习迁移的发生应有一个先决条件，就是学生需先掌握原理，形成类比，才能迁移到具体的类似学习中.”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。
4.强调结构和原理的学习，“能够缩挟高级’知识和‘初级’知识之间的间隙”
一般地讲，初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的，特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了，有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义.而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容，如集合、对应等.因此，数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线。
二、中学数学教学内容的层次
中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次：一个称为表层知识，另一个称为深层知识.表层知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。
表层知识是深层知识的基础，是教学大纲中明确规定的，教材中明确给出的，以及具有较强操作性的知识.学生只有通过对教材的学习，在掌握和理解了一定的表层知识后，才能进一步的学习和领悟相关的深层知识。
深层知识蕴含于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统帅着表层知识.教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识，让学生在掌握表层知识的同时，领悟到深层知识，才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”，从而使数学教学超脱“题海”之苦，使其更富有朝气和创造性。
那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略到深层知识的真谛.因此，数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体，使学生逐步掌握有关的深层知识，提高数学能力，形成良好的数学素质。
三、中学数学中的主要数学思想和方法
数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识.由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制，只能将部分重要的数学思想落实到数学教学过程中，而对有些数学思想不宜要求过高.我们认为，在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个：集合思想、化归思想和对应思想.其理由是：（1）这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容；（2）符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验，易于被他们理解和掌握；（3）在中学数学教学中，运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多；（4）掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础。
此外，符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现，应依据具体情况在教学中予以渗透。
数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略，这些策略与人们的数学知识，经验以及数学思想掌握情况密切相关.从有利于中学数学教学出发，本着数量不宜过多原则，我们认为目前应予以重视的数学方法有：数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等。一般讲，中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下，运用数学方法，通过一系列数学技能操作来完成的。
四、数学思想方法的教学模式
数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系，这就决定了他们在教学中的辩证统一性.基于上述认识，我们给出数学思想方法教学的一个教学模式：
操作――掌握――领悟