关键词：城乡收入差距条件概率
改革开放以来，我国城乡社会经济发展迅速，城乡居民的生活水平显著提高。但是城乡发展失衡问题仍很突出，特别是城乡居民收入差距明显，且有进一步扩大的趋势，这不仅不符合共同富裕的目标，也严重影响了国民经济持续均衡发展和全面小康的实现。所以统筹城乡发展，必须从缩小城乡收入差距入手。
城乡居民收入状况
改革开放以来，随着我国国民经济的快速发展，城乡居民收入普遍提高，并且收入水平一直保持增长趋势，但增幅却呈现出波动态势，且波动幅度相当大。特别是农村居民人均纯收入，1985年以前出现明显上升，增幅远远高于城镇居民人均可支配收入，到1985年后增速大幅下降，1993-1996年与城镇居民人均可支配收入同时大幅增长，1997年以后增幅又迅速持续下滑，且下滑的速度远大于城镇居民人均可支配收入，由1996年的22.1%骤然降至1997年的8.5%，以后几年分别为3.4%、2.2%、1.9%，增速降至改革开放以来的最低点。
城乡居民收入差距越来越大。改革开放20多年来，城乡居民收入差距经历了由迅速缩小到逐渐扩大，由逐渐扩大到逐渐缩小，再由逐渐缩小到加速扩大的发展过程。城乡居民人均收入差距指数（城镇居民人均可支配收入除以农村居民人均纯收入）1978年为2.57，说明收入差距在改革开放之前已经存在；1985年达到历史最低点1.86，这是农村改革的成效显现的表现；1991年达到2.4，以后的十余年一直居高不下；1994年达到2.86，超过了改革开放前的水平；1997年有所缓解，达到新的谷底为2.47，小于改革开放前的水平；1997年以后差距开始加速扩大，2003年达到历史最高水平3.23；2004年和2005年收入差距有回升的趋势，但2005年收入差距指数仍保持在3.22。
考虑到农民收入易被高估（如自产自用部分估价高），而城镇居民收入易被低估（如各种福利性补贴不能涵盖等因素），城乡居民收入差距实际上更大，据测算约在4-5倍左右，甚至可能达到六倍。从国际范围加以比较，当经济发展水平在人均GDP800-1000美元阶段，其他国家城镇居民人均收入一般是农民人均收入的1.5-2倍。所以，如果把非货币因素考虑进去，我国的城乡居民收入差距居世界之首，解决城乡居民收入差距问题已是迫在眉睫。
城乡居民收入差距扩大的不利影响
（一）严重影响了社会有效需求的增长
据有关资料显示，我国农村人口占全国人口的70%，而金融资产占全国的比重不到30%，社会购买力只占全国的36.7%，农村消费不旺，内需难以启动。一般而言，不同收入水平的居民具有不同的消费倾向。收入水平越高，消费倾向越低；收入水平越低，消费倾向越高。由于我国的收入分配向消费倾向比较低的城镇居民倾斜，不仅大大降低了农民的消费水平，而且严重影响了社会有效需求的持续增长，造成初级消费市场难以向高级消费市场发展。
（二）不利于开拓农村市场
1985年以来，我国国民收入分配主要向城镇居民倾斜，农村居民消费品需求的市场份额与其占人口总数近80%的比例极不相称。1979-1986年，农村居民收入增长较快，农村商品零售额占社会商品零售总额的比重有所上升，达到59.23%。1985年以后，农村居民收入增长缓慢，该比重持续下降，1995年降至39.98%，2000年进一步降至38.19%，而仅占全国总人口36%的城镇居民其商品零售额却占61.81%。
（三）不利于工农业协调发展和宏观经济的稳定
从需求角度看，城乡经济互为经济领域的两个部门。如果农村人口长期处于生存收入水平，那么城市工业生产的产品除非用于自身消费或出口，否则，农村人口因有效购买力不足，城市工业发展将遭遇市场需求瓶颈制约，城市经济增长也就失去支撑。
从宏观角度看，收入差距本身是整个社会经济运行的一种结果，但是它又与社会经济的发展产生互动的作用。过大的收入差距会破坏经济社会协调发展机制，扭曲产业结构和就业结构，降低资源配置效率，影响经济效率；更重要的是，城乡收入差距的扩大是导致社会和政治不稳定的一个重要因素，甚至破坏经济持续增长所需的和平经济建设环境，加大了社会稳定承诺成本，最终影响到全面小康的建设和现代化进程的发展。
城乡收入差距的条件概率分析
机会不平等是城乡收入差距的制度根源。根据人力资本理论，人们的收入水平取决于自身的人力资本积累，人力资本可使收入差异均等化，即综合教育水平的全面提高培养了同质劳动力，有助于城乡收入差距的缩小。然而该理论很大程度上是以完全竞争环境为前提的，在其中要素可以自由流动。而在发展中国家，大量的市场是分割的（地域或城乡），教育机会、就业机会不均等，劳动者首先面临的是机会不平等，其外生性决定因素往往超过自身的努力。
机会不平等理论主要研究了市场分割状况下或制度上的歧视性设置对收入分配不平等的影响，如在制度上对农村居民的教育存在歧视，农村居民不可能获得与城市居民同等的受教育机会，因此而导致农村居民难以通过内生人力资本投资来改善自身的收入能力，从而沦为贫困人口。
城乡二元经济社会结构体制是造成城乡关系失衡和城乡居民收入差距的根本原因。城乡二元经济社会结构一般是指以社会化生产为主要特点的城市经济管理体制和以小农生产为主要特点的农村经济管理体制并存的经济结构。二元经济现象是发展中国家经济发展过程中的重要特征。这种经济结构上发展的不平衡，引起了一系列制度安排的不合理。实质上，经济基础决定上层建筑，经济的差异会引起制度安排上的差异，而制度上的差异又会固化甚至加剧经济的差异性。
仅仅从经济因素看，由于发展不平衡导致的制度上的歧视结构，造成了劳动力市场的二元性，使得农村居民与城市居民难以享受同等的就业机会；更进一步看，由于城乡的经济差别，城乡居民所享受的社会福利差别也是巨大的，包括教育、医疗卫生等；这些人力资本提高和社会保障方面的机会差异，又导致了进一步的劳动能力和就业机会的差别，从而加剧经济上的差别，形成恶性循环。
从上世纪50年代，我国采取的是城乡二元结构体制，通过统购统销、户籍、财政、社会保障等方面严格的城乡分割政策把农民固定在农村，让基础脆弱的农业及本已非常贫困的农民担负起为实现工业化提供资金积累和经济剩余的任务。国家通过工农业产品“剪刀差”、农村税收和支农支出相抵、既不合理又不科学的农业税计征方法、对农民土地多征少补、歧视性的户籍制度和就业制度、对农民几乎属于空白的社会保障制度等来实现“以乡养城”的目的。有专家估算以上几项城乡不平等的制度安排，使全国农民每年向城市做了大约2万亿元的贡献。
从上文分析可知，城乡二元结构体制以牺牲农业、农村和农民的利益为代价，其结果是严重扭曲了工农关系和城乡关系，形成在收入水平、发展机会和社会地位等方面不平等的城镇居民和农村居民两大社会集团，使农民成为社会的弱势群体。
从长期来看，城乡收入差距的本质是城乡劳动者没有公平分享经济发展的成果，因此，这一问题可以纳入对经济发展成果的分享问题的讨论范围。劳动者是最基本的生产要素，从参与生产的角度出发，劳动者的教育问题、就业问题和社会保障问题是劳动者参与分享的三种主要方式。劳动者的教育问题涉及劳动力能否同质，就业问题涉及劳动力市场是否完善，社会保障问题涉及劳动者能否平等的化解市场化中带来的风险。因此能否公平分享经济发展成果，主要看这三者的机会是否平等。
针对以上这些问题，本文的论证将从三个方面着手：一是劳动力自身素质的同质性，教育机会的不平等；二是劳动力市场的平等性，就业机会的不平等；三是化解市场风险的平等性，社会保障体系的不平等。
（一）教育机会不平等
教育水平的普遍提高可以提高居民的收入水平，综合教育的全面提高有助于缩小收入差距。我国的教育主要由各省、市、区地方政府提供资金，因此，经济落后省份普遍存在投资不足问题，再加上投资的城市偏向影响，城乡居民在受教育机会方面存在着先天的不平等，导致城乡居民人力资本方面存在差异，农村劳动力的低素质将直接导致其没有竞争优势。
据第五次人口普查资料显示：农村人口中初中及以上文化程度的占39.1%，远低于城市人口65.4%的水平；小学文化程度42.8%，15岁以上文盲率为8.35%，分别高于城市23.8%和4%的水平。我国农村地区的教育回报是，在校时间每增加一年，收入增长3.5%至5.5%。山东省农民受教育水平偏低，据山东省统计局统计，截止到2004年末，全省农民受教育年限不足9年，农村劳动力中，文盲半文盲占5.9%，小学文化程度占21.5%，初中文化程度占53.5%，高中文化程度占18.2%，大专以上文化程度占0.9%。农村人口主要由受过初中和小学教育的群体构成，而城市人口则主要由接受了高中及以上教育的群体构成，这无疑是城乡之间最大的不平等，也是影响城乡收入水平的一个重要因素。无论是在农业部门还是非农业部门工作，无论在农村劳动还是城市打工，农民接受的教育都会直接影响他们的生产率、适应能力及收入水平。
假设我国农村人口中初中及以上文化程度比例达到城市水平65.4%，并且增加的部分来自于小学文化程度的人口（设此条件为A），那么增加的这部分人口所增加的受教育时间至少是4年。
P(收入增长/A)=P(A条件下的收入增长情况)/P(A)
0.14/0.654=21.4%
0.22/0.654=33.6%
可见，收入增长的概率下限至少为21.4%，上限至少为33.6%。
倘若增加的部分来自于文盲人口（设此条件为B），那么增加的这部分人口所增加的受教育时间至少是9年。
P(收入增长/B)=P(B条件下的收入增长情况)/P(B)
0.315/0.654=48.2%
可见，收入增长的概率下限至少为48.2%，上限至少为75.7%。
由以上分析可知，假若农村人口受教育程度能达到城市水平，那么农村居民收入水平将会得到大幅提升。
就山东省而言，假设初中文化程度的人口其文化程度能达到高中及高中以上文化程度（设此条件为C），那么这部分人口所增加的受教育时间至少是3年。
P(收入增长/C)=P(C条件下的收入增长情况)/P(C)
0.105/0.535=19.6%
0.165/0.535=30.8%
可见，收入增长的概率下限至少为19.6%，上限至少为30.8%。
假设小学文化程度的人口其文化程度能达到初中文化程度（设此条件为D），那么这部分人口所增加的受教育时间至少是4年。
P(收入增长/D)=P(D条件下的收入增长情况)/P(D)
0.14/0.215=65.1%
0.22/0.215=1
可见，收入增长的概率下限至少为65.1%，上限为1。
由以上分析可知，农村人口受教育程度不同程度的提升，会对其收入产生不同程度的影响。劳动力受教育的程度是影响农民收入的重要因素之一。因为受教育程度高的人，容易接受新事物、新技术，对市场致富信息反应灵敏，具有较高的市场适应能力，从而在市场竞争中处于有利地位；而农民受自身素质的制约，市场经济、市场主体意识不强，抵御市场风险，驾驭市场经济的能力很弱，勤劳不能致富，增产不能增收的现象时有发生，这无疑会影响城乡居民收入差距。
（二）就业机会不平等
就业乃民生之本，一方面，从事农业生产的农民中约有1/3是富裕劳动力，农民充分就业的权益没有得到很好的体现；另一方面，我国的劳动力市场存在分割现象，这里主要是对农民进城务工的种种限制和歧视性规定，它通过影响农民就业而导致城乡收入差距不断扩大。决策者的出发点是，如果放任他们流入城市，会对城市就业和基础设施造成巨大压力，从而会威胁到社会治安。因此，政府鼓励农业剩余劳动力离土不离乡，从而限制农村劳动力进入城市就业，减少农民的就业机会。
然而，研究人员认为农民与城市居民在工作上具备的互补性远远大于替代性，取消就业的种种限制并不一定会给城市居民带来冲击。而且考虑到个人利益最大化及其城市生活能力高低的情况，这些因素必将使农民做出理性化的决策，而不至于一窝蜂的进入城市工业部门，对城市形成竞争和压力。另外，农村的土地保障制度使我国不会像其他发展中国家那样出现大规模贫民窟的现象。
根据《山东统计年鉴2008》，2007年山东省第一、二、三产业增加值在国内生产总值中的比重分别是9.7%、56.9%、33.4%，第二产业增加值是第一产业增加值的5.87倍。而2007年第一产业就业人员是2265.2万人，占全省就业人员的37.3%，
第二产业是1989.9万人，占32.7%，第三产业就业人员占30.0%。
从横向比较看，2007年山东省第一产业劳动生产率为11076.9元/人，第二产业劳动生产率为74257.65元/人，第三产业劳动生产率为47529.1元/人，第一产业劳动生产率约是第二产业的1/7，约是第三产业的1/4。
从纵向比较看，从1978～2007年，第一产业劳动生产率由391.28元/人上升到11076.9元/人，提高了27.31倍；第二产业劳动生产率由3255.6元/人上升到74257.65元/人，提高了21.81倍；第三产业劳动生产率由1230.28元/人上升到47529.1元/人，提高了37.63倍。农业部门的劳动生产率远远低于非农业部门的劳动生产率，农业部门的劳动生产率增长虽然高于第二产业的劳动生产率增长，但农业劳动生产率是在低水平上的增长，第二产业是在高水平上的增长。总之，城乡劳动生产率差异是造成城乡居民收入差距的主要原因。
2007年山东省第一产业在国内生产总值中的比重是9.7%（设此事件为A），第二、三产业在国内生产总值中的比重是90.3%（设此事件为B），第一产业就业人员占全省就业人员的37.3%（设此事件为C），第二三产业就业人员占全省就业人员的62.7%（设此事件为D）。
P(AC)=P(C/A)*P(A)
P(AC)=0.73*0.097=3.6%
假设：P(BD)=P(AC)=3.6%
那么：P(D/B)=P(BD)/P(B)
P(D/B)=0.036/0.903=4%
这与62.7%差距非常大，而第二、三产业就业人员多集中于城镇。由此可见，劳动力在国民经济各部门间的配置比例严重失调，大部分劳动力滞留在农村致使劳动生产率难以提高。
（三）社会保障体系的不平等
在城乡二元结构体制下的各项政策不可避免地带有了“城市倾向”。
首先表现为农业投入严重不足。长期以来，国家财政支农支出占总支出比重忽高忽低，地方政府对农业的投入受制于经济实力而形成地区间的不平衡，农户因为收入问题及对政策连续性的不敢保证对农业投入也很有限，最终造成了农业生产基础非常薄弱，不能保证农业生产的稳定发展，严重影响了农民收入的持续提高。
其次，农民负担过重。农村改革以后，农村基本经济关系随着家庭承包制的实施发生了重大变化，但是农村公共产品供给体制却延续了时期的游离于国家财政收支体系以外的做法。造成农民既对自身所在社区的经济负担，又对国家的经济负担。加上不合理的农业税收和“三提五统”使农民负担甚重，这是导致农民增收困难和缓慢的一个重要原因。
第三，农村资金流向城市。1998年，农业获得当年总贷款的7%，乡镇企业得到9%，这16个百分点背后是70%的农村人口。2000年，全国金融机构各项贷款余额达9937亿元，而用于农业和乡镇企业的贷款余额仅占10%左右。
农村人口占人口总数的70%（设此事件为A），城市人口占人口总数的30%（设此事件为B），1998年，农业和乡镇企业获得贷款的总额的16%（设此事件为C），工商业和城市企业获得贷款总额的84%（设此事件为D），2000年，农业和乡镇企业获得贷款总额的10%（设此事件为E），工商业和城市企业获得贷款总额的90%（设此事件为F）。
P(AC)=P(C/A)*P(A)
P(AC)=0.16*0.7=0.112
设：P(BD)=P(AC)=0.112
那么：P(D/B)=P(BD)/P(B)
P(D/B)=0.112/0.3=37.3%
这与84%差距非常大。
P(AE)=P(E/A)*P(A)
P(AE)=0.1*0.7=0.07
设：P(BF)=P(AE)=0.07
那么：P(F/B)=P(BF)/P(B)
P(F/B)=0.07/0.3=23.3%
这与90%差距非常大。
由此可见，金融机构对农业和农村企业贷款所占的比例与农业的贡献极不相称，从农村吸储多、放贷少，农村资金大量流向城市。
结论
城乡二元经济社会结构体制造成了机会不平等现象，通过条件概率分析可知，教育机会不平等，就业机会不平等，社会保障体系不平等对城乡收入差距有重大影响。制度是经济增长的重要源泉，提供有效激励的制度安排能够使生产要素合理配置，公平参与收入分配，减少交易成本和内化外部性。由于我国的市场体系还未完全建立起来，现存的某些制度以及各种市场竞争规则的不健全和不完善使得公平竞争规则不可能得到全面贯彻，从而人为限制了要素的自由流动，造成了要素市场的严重扭曲。因此，积极推进制度变革，努力实现机会均等，促进要素流动，并通过要素流动使得报酬平均化，是市场经济条件下，城乡收入差距自然收敛的根本制度选择。
参考文献：
1.蔡继明.中国城乡比较生产力与相对收入差距[J].经济研究，1998(1)
2.蔡，都阳，王美艳.劳动力流动的政治经济学[M].三联书店，2003
3.张平.增长与分享:居民收入分配理论和实证[M].社会科学文献出版社，2003
4.李景春.就业壁垒对农民收入增长和城乡收入差距的影响[J].当代经济研究，2003(11)
例如，抛掷一枚质地均匀的硬币，当试验次数较少的时候，“正面朝上”的频率有可能是0，也有可能是1或0与1之间的其他数值，但从义务教育教科书苏科版《数学》七年级下册第46页上“统计学家历次做‘抛掷质地均匀的硬币试验’的结果”表中可以看出，随机事件“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”发生与否具有随机性，在不同试验中，同一个事件发生的频率可以彼此不相等，但是在相同条件下进行多次重复试验后，“正面朝上”的频率会稳定在0.5左右.其实，抛掷质地均匀的硬币“正面朝上”的概率为0.5.利用随机事件的频率来估计它的概率可以解决一类概率问题.
首先，同学们对频率和概率的关系要有正确的理解.
例1下列说法正确的是（）.
A.一颗质地均匀的骰子已连续掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点
B.某种中奖的概率是1%，因此买100张该种一定会中奖
C.明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的时间降雨
D.抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
解：A、B、C中的事件都是随机事件，故A、B、C均是错误的.A选项试验中的每一次的抛掷都是相互独立的，第2001次的抛掷与前面的试验结果没有任何关系.有学生认为前2000次试验中5点次数最少，而平时老师所讲的各点出现的机会是均等的，所以产生了从总体上来看这一次出现5点的可能性极大的错觉.B选项和C选项都是错误认为概率等同于频率.D选项中，钉尖触地与钉尖朝上并不是等可能性的，因此出现的概率不相等.故选D.
频率与概率是有差别的，随机事件出现的频率也是随机的，当实验次数很多时，它接近该事件的概率.因此，我们可利用它计算概率，但它并不就是该事件的概率.任何一个随机事件的概率都是一个定值.
那么，用频率估计概率的一般步骤有哪些呢？下面这个问题一定能给我们启发.
（1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______.
（2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是______，摸到黑球的概率是______.
（3）试估算口袋中黑白两种颜色的球各有多少只？
（4）解决了上面的问题后，小明猛然醒悟，过去一个悬而未决的问题有办法解决了.这个问题是：在一个不透明的口袋里装有若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，如何估计白球的个数（可借助其他工具及用品）.请你写出解决这个问题的主要步骤及估算方法.
在现实生活中，能够直接计算概率的事件极为有限，多数情况下要通过观察和试验.必须在相等条件下，用简单易行的试验来代替不易实行操作或不可能实际操作的试验.
通过上述解题思路，可以解决生活中的一些实际问题，我们来看下面这个问题.
例3王老汉想把自家鱼塘里的鱼卖给客户，为了与客户签订购销合同，想对自己鱼塘中鱼的总质量进行估计，请你运用概率的知识帮他设计一个方法，估计鱼塘中有多少条鱼？共大约多少千克？
池塘里每一条鱼被捞出来的机会是相同的，做了记号的鱼占鱼群的比例，与捞出的做了记号的鱼和捞出鱼数的比值应当一致，由此可估计池塘中鱼的条数，从而得出鱼的总重量.
【关键词】蒙提霍尔问题；全概率公式；教学设计
【基金支持】（1）2015.6.1―2016.5.31，西南石油大学教师教学研究重点资助项目，“利用现代教育技术实现《概率统计》立体化教学模式的研究和实践”，（目编号2015JXYJ-23）；（2）2013.02―2016.07四川省教育厅教学改革研究项目“多元化人才培养模式下的大学数学系列课程改革与实践”（项目编号X15021301019）；（3）2015.11.1―2017.08.10，高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目，“将优秀微课作品应用于概率统计课程教学的教学模式的探索与实践”（无项目编号）
全概率公式是概率论中的一个重要的公式，也是教学中的一个重点内容.在许多的概率统计的教材中，通常都是直接给出样本空间的划分（分割）的定义，然后以定理的形式给出全概率公式[1，2].但是笔者在给工科学生讲授这部分内容时发现，如果按照教材上的方式来讲解，学生会感到非常的枯燥，而且接受起来也存在一定的困难.尤其是面对一些贴近生活的实际问题，学生不能很好地应用该公式.从而使得部分学生逐渐丧失信心，产生畏难情绪，失去学习的兴趣.因此有必要对全概率公式的教学进行比较深入细致的设计.
在教学中，对于一个新知识的讲解，“引入”是十分关键的.著名的数学家拉普拉斯说过：“生活中最主要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率问题.”由此可见，在现实生活中随处可见概率问题.因此，在概率统计课程的教学中，可以通过分析现实生活中的一些有趣的案例导入新课.一方面，可以激发学生的好奇心和求知欲，另一方面也有助于学生理解抽象复杂的公式.鉴于此，本文采用启发式结合总结式的教学方法，从一个有趣的生活实例――蒙提霍尔问题入手，通过教师循序渐进地设问，从而归纳出全概率公式，再从一般到特殊，通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用全概率公式来解决实际问题的目的.整个教学设计体现“以教师为主导、以学生为主体”的教学理念，引导学生主动学习、思考，并教会学生怎样应用所学知识来解决实际问题，体现“授人以渔”.
一、回顾前面学习的知识
教师在讲授新内容之前可以花几分钟的时间复习与新内容密切相关的一个或者几个知识点，自然地过渡到新课.这是一种“以旧入境，推旧引新”的“复习式”切入法[3].这样便于将新旧知识逻辑性地联系起来，利于教师循序渐进地引导学生学习新知识.同时有利于巩固已有知识，并引发学生积极思考，利用所学新知识解决问题.
教师首先和学生一起回顾在前一节中学习的知识：条件概率公式和乘法公式[1].
条件概率：设A，B为随机试验E的两个事件，且P（A）>0，则称P（B|A）=P（AB）P（A）为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率.而在实际应用中，我们很少直接利用这个公式来计算条件概率，而是事先根据实际情况算出条件概率，再利用它来计算积事件的概率，也就是乘法公式P（AB）=P（A）P（B|A）（或P（AB）=P（B）P（A|B））.这两个公式在概率统计中非常有用，而关于这两个公式的应用有很多.先来看一个例子.
二、由有趣的生活实例引入全概率公式
引例（蒙提霍尔问题）在一个综艺节目中，有编号为1、2、3的三扇门，门后分别藏有两只山羊和一辆宝马汽车作为奖品，门后的奖品的种类主持人是知道的，当然参赛选手不知道.参赛选手答对题目后，可以从三扇门中任选一扇门，得到相应的奖品.现在假设该参赛选手选中了1号门，主持人将未选的两扇门中打开一扇（例如3号门），后面是一只山羊.如果你是参赛选手，现在主持人再给你一次改变选择的机会，你是否改变选择，将选中的1号门换为2号门？
蒙提霍尔问题（MontyHallproblem，也称为三门问题）是一个著名的概率趣题，实质上是一个源自博弈论的数学游戏问题[4].该问题出自美国的一个电视游戏节目LetsMakeaDeal，由于该节目是由蒙提霍尔主持的，因此通常称这个问题为蒙提霍尔问题.
给出引例之后，教师通过设问的方式进一步引导学生思考.提问：假设你是参赛选手，你会怎样选择？改选还是坚持原来的选择呢？留一些时间让学生参与讨论，充分调动学生的学习积极性.对于该问题，学生们众说纷纭，各执一词，有从心理学分析原因的，有从逻辑分析原因的.此时教师要引导学生从数学的角度来分析问题，指出“改选”或“不改选”最关键的问题在于何种选择会对参赛者更有利，也就是获得宝马汽车的可能性更大一些.用数学语言来描述就是：哪种选择下获得宝马汽车的概率更大一些.因此，我们需要计算“改”与“不改”两种策略下，选中宝马汽车的概率.
为了后面计算的方便，需要先将事件描述清楚，并用字母表示出来.当参赛选手的选择从1号门变到2号门时，他能否中奖，完全取决于1号门后面到底是宝马还是山羊.于是设B1=“1号门后面为宝马汽车”，B2=“1号门后面为山羊”.易知，B1和B2是互斥的事件，且有P（B1）=13，P（B2）=23.参赛者中宝马汽车这个事件被1号门后面是山羊和1号门后面是宝马分割成了两部分.另设A=“参赛者改变选择，并最终中宝马汽车”.则显然有P（A|B1）=0，P（A|B2）=1.“参赛者改变选择，并最终中宝马汽车”这个事件的概率的计算如下：
P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=13×0+23×1=23.
于是我们得到了，改变选择获得宝马车的概率是P（A）=23.
接下来让学生自己考虑，不改变选择时获得宝马汽车的概率是多少呢？设事件C=“参赛者不改变选择，并最终中宝马汽车”.与前面类似的方法可以得到，
P（C）=P（B1）P（C|B1）+P（B2）P（C|B2）=13×1+23×0=13.
对该问题进行分析，启发学生从结果中总结规律.
P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=∑2i=1P（Bi）P（A|Bi）.
强调：表达式P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）虽然形式上比较复杂，但实际计算起来却很简单，并且能够体现事件发生的先后次序.
分析时要指出此类问题的本质特点：多个事件对所求事件的概率都有概率“贡献”.进而，通过提问引导学生将其推广到一般情况的思考，体现由特殊到一般的思想，从而推导出全概率公式.所设问题如下.
（。┑倍A事件发生的概率有影响的事件为n个（B1，B2，…，Bn）时，是否有类似的表达式？
（）上式成立需要满足什么条件？
利用对问题（。┖停á）的回答，引出划分的概念和全概率公式.
三、全概率公式及证明
1.回顾划分（完备事件组）的概念，指出这是全概率公式成立的条件之一.
关于划分，由两个事件相互对立，推广到n个事件时，要注意通过两者之间的共性，实现教学内容之间的衔接：
（。BiBj=（i，j=1，2，…，n，i≠j）；
（）∪ni=1Bi=Ω.
2.全概率公式的定理及其证明.
定理（全概率公式）设事件B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…，n），则对任意事件AΩ，有
P（A）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）.
给出定理之后，与引例的分析做对比.事实上，引例中的表达式即为全概率公式在n=2时的特例，引导学生思考能否根据引例的分析过程类推得出全概率公式的证明.
证明由BiBj=（i≠j），Ω=B1+B2+…+Bn，得
A=AΩ=AB1+AB2+…+ABn，
P（A）=P（AB1）+P（AB2）+…+P（ABn）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+…+P（Bn）P（A|Bn）=∑ni=1P（Bi）P（A|Bi）.
证明完毕后再来说明全概率公式的数学思想.全概率公式是对加法原理和乘法公式的综合运用，蕴含了“化整为零、积零成整”、化复杂为简单的数学思想，将受多个因素影响的复杂事件的概率分解成不同影响因素对应的简单事件概率之和.
四、全概率公式的应用
通过具体例子（产品抽样检查问题）来说明全概率公式的应用方法，这里体现的是从一般到特殊的思想.
例（产品抽样检查）设仓库中共有10箱产品，其中甲、乙、丙三厂各有5，3，2箱，且已知甲、乙、丙三厂的次品率分别为10%，15%，20%，现从中任取1箱，再从该箱中任取1件产品，求取到次品的概率.
1.问题分析：分析这类问题的特点，说明为什么这类问题可以用全概率公式求解.取到的产品可能由甲、乙、丙三个厂中任何一个厂生产，因此，该产品为次品的概率受到甲、乙、丙三厂的综合影响，每个工厂都有概率“贡献”，因此应考虑运用n=3的全概率公式.
2.求解步骤：对事件进行描述，计算公式中各项的概率.
解设A=“任取一件产品，该产品为次品”，B1，B2，B3分别表示“所取得的产品由甲、乙、丙三厂生产”，
P（A）=∑3i=1P（Bi）P（A|Bi）
=0.5×0.1+0.3×0.15+0.2×0.20
=0.135.
注意：在求解过程中，要引导学生思考全概率公式中各项概率（特别是条件概率）该怎么计算，加深对全概率公式应用的认识.
3.问题总结：应用全概率公式的关键在于，对所求事件A有概率贡献的全部原因都要分析清楚，将所有的可能性都要考虑进来.另外强调，公式中的条件概率是根据实际情况直接得到的，不是利用条件概率公式计算的.
五、由设问引出贝叶斯公式
在解决了上面问题之后，通过设问的方式引导学生做更加深入的思考.
在产品抽样检查例题中，若取得的产品榇纹罚问该产品是最可能由哪个厂生产？
引导学生主动思考并分析出这类问题的特点.全概率公式可以说是解决“知因求果”的问题，而上面提出的这个问题则是相反的，这类问题是已知结果，推断原因，遇到这种“执果探因”的情况又该如何解决呢？
进一步引导学生解决问题.在已知该产品是次品的条件下，分别考虑该次品是来自各个厂的概率，即分别求：该次品来自甲厂的概率P（B1|A），该次品来自乙厂的概率P（B2|A），该次品来自丙厂的概率P（B3|A），这是三个条件概率，利用前面学习的条件概率的知识可以分别求得：
通过比较上面的概率可知，次品来自甲厂的概率最大，因此，可以认为该次品最有可能是由甲厂生产的.上面三个概率的计算主要是利用条件概率公式、乘法公式和全概率公式得到的，将上面的三个公式推广到一般情形，就可以得到贝叶斯公式.由设问引出贝叶斯公式，又很自然地导入了下一个知识点，做到了教学内容之间的相互衔接.
【参考文献】
[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.
[2]李贤平.概率论基础[M].第2版.北京：高等教育出版社，2000.