公元前245年，希腊西西里岛叙拉古城的赫农王(King Hieron)，叫一个工匠替他打造一顶纯金皇冠。
国王给了工匠他所需要的数量的黄金，工匠的手艺非常高明，制做的皇冠精巧别致，而且重量跟当初国王所给的黄金一样重。
可是，有人向国王报告说：“工匠制造皇冠时，私下吞没了一部分黄金，把同样重的银子掺了进去。”国王听后，也怀疑起来，就把阿基米德找来，要他想法测定金皇冠里掺没掺银子，工匠是否私吞黄金了？但是条件却是：不许弄坏王冠！
这可把阿基米德难住了！他回到家里苦思冥想了好久，也没有想出办法。每天饭吃不下，觉睡不好，也不洗澡，象着了魔一样。
有一天，国王派人来催他进宫汇报。他妻子看他太脏了，就逼他去洗澡。他在澡堂洗澡的时候，脑子里还想着称量皇冠的难题。
突然，他注意到，当他的身体在装满水的浴盆里沉下去的时候，就有一部分水从浴盆边溢出来。同时，他觉得入水愈深，则他的体量愈轻。于是他忽然想到：相同重量的物体，由于体积的不同，排出的水量也不同。
于是，他立刻跳出浴盆，忘了穿衣服，一丝不挂地就跑到大街上，顺着大街往皇宫跑。一边跑，一边叫：“我想出来了！我想出来了！解决皇冠的办法找到啦！”
他进皇宫后，对国王说：“请允许我先做一个实验，才能把结果报告给你！”国王同意了。
阿基米德将与皇冠一样重的金子、和一块一样重的银子和皇冠，分别放入水盆里，观察发现：金块排出的水量比银块排出的水量少，而皇冠排出的水量比金块排出的水量多。
于是阿基米德对国王说：“皇冠掺了银子！”
国王看了实验，没有弄明白，让阿基米德给解释一下。阿基米德说：
“一公斤的木头和一公斤的铁比较，木头的体积大。如果分别把它们放入水中，体积大的木头排出的水量，比体积小的铁排出的水量多。”
“我把这个道理也用在金子、银子和皇冠上。因为金子的密度大，而银子的密度小，因此同样重的金子和银子，必然是银子的体积大于金子的体积。所以同样重的金块和银块放入水中，那么金块排出的水量就比银块的水量少。”
“刚才的实验表明，皇冠排出的水量比金块多，说明皇冠的密度比金块的密度小。这就证明皇冠不是用纯金制造的！”
阿基米德有条理的讲述，使国王信服了。实验结果证明：那个工匠私吞了黄金！
阿基米德的成就有很多，包括很多方面，有物理方面的，有数学方面，也有军事方面的。
阿基米德的成就中包含发现了浮力定理，浮力定理的发现是阿基米德在一次意外中发现的。徐古拉的国王打造了一定纯金王冠，但是他怕工匠私藏了金子，就让阿基米德验证一下王冠是不是纯金的。阿基米德在一次洗澡中悟出了浮力定理，帮国王验证了金冠的纯度。
阿基米德在物理方面的成就还包括发现了杠杆定理，杠杆定理使得人们在干重活时节省了很多力气。阿基米德发现杠杆原理与船舶进海有关，由于制造的战舰太多笨重，工匠们无法将战舰拖入海中。这个问题落到了阿基米德的身上。阿基米德苦思冥想，悟出了杠杆定理，使得笨重的战舰很轻易地就进了大海。
阿基米德能有如此多的成就与阿基米德的勤奋有很大的关系。阿基米德平时非常勤奋，平时特别注重思考。阿基米德经常去城市和乡村中走一走，看一看人们的活动，经常能从中得到一些灵感。
阿基米德在数学方面也有很大的成就。阿基米德的墓碑上刻着一个圆球内切面的图形，这是纪念阿基米德在几何学方面的成就。阿基米德还对微积分有所阐述。阿基米德被称为是最伟大的数学家之一。