关键词：数学概念，数学概念教学，模式，策略
Abstract:Thispapertalksaboutsomeattemptsontheconceptofjuniorhighschoolmathteachinginthese3aspects:themathematicalconcepts,mathematicalconcepts,teachingmode,themathematicalconceptofthebasicteachingstrategies.
Keywords:mathematicalconcepts,mathematicalconcepts,teaching,pattern,strategy
中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：
数学概念是构成数学教材的基本结构单位，不仅是数学基础知识的重要组成部分，也是学生学习的核心知识。目前初中数学教材约有400个概念，这些概念是数学应用及学生进一步学习其它数学知识的基础。学生只有正确、清晰、完整地学习了这些概念，才能牢固地掌握数学的基础知识，有效提高解决问题和分析问题的能力。因此概念教学是初中数学教学中至关重要的一项内容，是基础知识和基本技能教学的核心。数学概念本质上是一种数学观念，是分析、处理问题的一种策略与方法，一个数学概念的背后往往蕴含着丰富的数学思想，理解、掌握蕴含于数学概念中的思想，是一个长期的探究过程，因此数学概念的教学要十分重视概念的发现和形成过程。下面就如何进行有效的数学概念教学，谈谈个人的一些体会。
1.数学概念获得的方式
数学概念获得的过程实质上是理解和掌握某一类数学对象共同的关键属性的过程，其基本方式是概念的形成和概念的同化。
1.1概念形成
概念的形成一般是针对由弱抽象形成的概念。如果某些数学对象的关键属性主要是在对大量同类数学对象的不同例证进行分析、类比、猜测、联想、归纳等活动的基础上，独立概括出来的，那么这种概念获得的方式就叫做概念形成。这一过程主要涉及以下相关因素：①感知、辨别各种刺激模式。②抽象出各刺激模式的共同属性，并提出假设。③在特定的情境中修正、检验假设，形成概念。④把新概念一般化，并用数学的语言符号表达。
为达到数学概念学习的要求，教学中要尽可能采用适当的方法促进学生用概念形成方式学习概念。因此，教师在概念教学时，不能直截了当就定义而讲定义，要精心设计教学环节，更多地从概念的产生和发展过程中为学生提供思维情景，预设学生可能出现的各种“新知冲突”，让他们观察、比较和概括由特殊到一般，由具体到抽象的过程，不断在解决冲突中体验概念的形成。这样不仅可以帮助学生理解和掌握新概念，而且也使他们的思维得到全面的发展。
1.2概念同化
概念的同化一般是针对由强抽象形成的概念。如果学习过程是已定义的方式直接向学生呈现概念的关键特征，实际上是新的数学概念在已有概念的基础添加其他新的特征性质而形成，这时学生利用自己的认知结构中已有的相关知识对概念进行加工、改造，从而理解新概念的意义，这种获得概念的方式就叫做概念同化。
2.概念教学的模式
按照教育心理学的学习原理，概念学习一般有概念形成和概念同化两种基本方式，因此概念教学的模式也有这对应的两种模式。模式框架如下：
概念形成的教学模式
以变量与函数概念的教学为例来说明概念形成的教学模式。
①以提问的方式为学生提供熟悉的具体例证，引导学生分析总结每个例证的本质属性。
问题一：(首先显示)水波纹动画（一系列同心圆）
（再显示解说词）一块石头落在平静的湖面上
（最后显示）圆的面积公式s=πr2，请取r的一些不同值，算出相应的s的值
问：在计算半径不同的圆的面积的过程中，哪些量在改变？哪些量不变？生：r，s在改变，π不变。
t（小时）12345
s（千米）
问题二：汽车在以50千米／时的速度匀速行驶，行驶的路程为s千米，行驶的时间为t小时，请填写下表：
师：这个问题中有哪些量？生：速度、路程、时间。师：在这些量中，哪些量数值发生变化，哪些量数值不发生变化？生：路程s，时间t是变化的量，速度50千米／时是不变的量。
②抽象出本质属性，形成初步概念
教师以提问的方式引导学生分析。师：以上两个问题不同，但是他们有一个共同的本质属性，你能对以上的两个问题中涉及的量进行适当分类吗？你分类的依据是什么？生：按照量是否发生变化，可分为两类。师：很好，在一个变化的过程中，我们把数值发生变化的量叫做变量，如以上例子中的r，面积s,，路程s，时间t。把数值始终不变的量叫做常量。如π，速度50千米／时。接着教师板书给出定义。
③概念的深化
抽象出本质属性后，学生的认知还不深刻，此时可以做些对应练习对概念做进一步深化。并在此基础上提问：同一个问题中的两个变量之间有什么联系呢？请同学们交流一下。生：一个量变化了，另一个量也随之变化。一个量确定了，另一个量也随之确定了。师：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是自变量的函数。（着重强调“唯一”）练习：下列是指中，y是x的函数吗?为什么？（1）y=3x-5（2）（3）y2=x（4）y=—2x+3
④概念的应用
通过概念的应用加深学生的印象，并解决实际问题。
用10cm的围成长方形，（1）若长方形一边长为3cm，面积是多少？（2）若长方形一边长为xcm，面积是sm2，使用含x的式子表示s。（3）s是x的函数吗？为什么？
《数学新课程标准》中，强调从生活经验出发，将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用。概念形成的教学模式需要对具体的，直接的感性材料进行观察、感知、操作等活动，比较耗时，一般适合概念体系中起着基础和核心作用的少数抽象概念的学习。
概念同化的教学模式
以同类项概念的教学为例来说明概念同化的教学模式。
①向学生提供概念的定义
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。
②揭示定义的内在含义，突出概念的关键属性，使学生准确理解概念的内涵。
如概念中的关键字词：“字母相同”，“相同字母”，要着重强调使学生加深印象，突出概念的关键属性。
③辨别例证，促进迁移
教师应及时提供丰富的概念例证，让学生辨认，巩固概念的关键属性，从而达到理解并掌握的目的。如以下练习：
（1）下列属于同类项的是（）
A．3x2y3与8y2x3B．x2yz与x2yC．23与54D．m2与n3
（2）写出6a3b2一个的同类项
一、从引入概念时进行变式训练
一节课的教学效果最终会如何，新知引入的方法起着关键作用，数学概念的教学亦是如此。在数学概念引入时就让学生接受变式训练，既可以拉近现实与概念两者的距离，也可以让学生对概念的最初印象更加准确和全面。就如同在引入“垂线”概念时，很多教师习惯于用图形“”作为垂线概念引入，所以很多学生对垂线概念的理解很容易陷入一个误区，认为与直线垂直的直线外一点总会发生在直线上方，认为点在直线下方就是不对的，甚至是不可能的。所以教师在概念引入时，应将“”、“┣”、“┫”变式图形同时导入加以说明，给学生一个客观的概念认识。变式训练还应注重从现实原型入手，让学生从熟悉的事例中去寻找存在的某些共同属性。如在引入“平行线”概念时，就可以让学生们从常见的象黑板上下边、铁轨等实例中对其属性进行认识，并试图找到这些实例所共具的属性：如它们都是同一平面内的两条直线、它们是永远不会有公共点的两条直线等等，最后这些本质属性进行抽象化，从而得出“平行线”概念。
二、从形成概念时进行变式训练
新课标初中数学别指出，要更加注重让学生经历知识形成的过程。而从学生创新能力与思维能力培养方面而言，数学概念形成的过程，就是对其内涵和外延进行揭示的一个过程，让学生经历这个过程要比让学生仅仅知道某个定义更为重要。通过变式训练让学生积极参与到概念形成的整个过程中，让他们不断地发现、创造、概括，将最初对概念的认识通过深化、改造和分析，在变式训练中从多角度对概念本质进行认知，最后对概念形成自己的认识，这才是变式训练的意义所在。如在学习完“因式分解”概念之后，可以对学生进行以下变式训练：
下面四列方程式中由左至右变形中，属于因式分解的是哪列？不属于因式分解的是哪列？说明原因。
①x+1=x（1+■）；
②x2-y2-1=（x+y）（x-y）-1；
③x2-16=（x+4）（x-4）；
④（x+3）（x-3）=x2-9。
在对每一列方程式的判断过程中，都是对概念本质的一次回顾与深化，这种让学生说明原因和理由的变式训练，可以帮助学生养成让概念成为进行判断的标准这一数学能力。
当学生对概念有了初步认识时，往往会对某些概念产生模糊不清的认识，因此，教师应着重对这些容易给学生以混乱不清感觉的概念进行变式训练，给学生划出一条清晰的区分概念的“分界线”。
三、从深化概念时进行变式训练
要想使学生对概念掌握得更加牢固，就要有一个巩固概念与应用概念的过程。巩固的基础是对概念深入的理解以及得心应手的应用，同时辅以复习。而应用概念需要经历不同阶段才能够得以发展，这是一个不断地反复与深化的过程。在这个过程中进行变式练习，可以帮助学生对概念进行系统化的整理，让他们在练习中找到存在于各个概念之间的横向或者是纵向的联系，从而构建起一个完善的概念体系，这对于数学能力的培养是十分重要的。如学生们对“绝对值”这一概念的定义、意义以及简单的应用都已经很熟练，但这并不是教学的最终目的，还需要通过丰富的题型变式和与其他概念的科学结合让学生对“绝对值”加深理解，所以教师应让学生进行“阶梯式”的变式练习：
①已知|a|=9，求a值；②已知|a-5|=9，求a值；③已知|a-5|+|a|=9，求a值；④已知|a|=a，求a值；⑤已知|a|=-a，求a值；⑥已知|a-5|=9-a，求a值；⑦已知|a-3|+|b-2|=0，求a，b值。
在20世纪80年代初期，科内尔大学的一群教育研究者和哲学家开发了一种称为概念转变的理论。这种理论基于皮亚杰的不平衡和适应性调节的观点，以及托马斯库恩的科学进化论。根据库恩的观点，科学进化遵循的是一种稳定的范式。首先，一种占优势地位的科学范式——一种基本的认知、思考、评价和做事的方式——濒临危机，因为它没能解决或解释科学团队确定的重要问题。其次，就必须有一个有望解决这些问题的可供选择的范式。这两个条件的存在就增加了“范式转变”的可能性或者新的思维框架的普遍接受性。
然而，研究者发现，如果只强调和采取逻辑和理性思维一～宾特里奇把这种方法称之为“冷酷的概念转变”，学生的已有概念非常难以改变。因为这种方法太过理性化，忽视了学习中的情感(如动机，价值观，兴趣)和社会成分，比如，没考虑到学习环境中其他的参与者(如教师和其他的学生)，以及这些参与者是如何影响学习者的概念生态圈，并影响概念转变的。
社会建构主义者和认知学徒观也影响了概念转变理论，这些学习观鼓励学生互相讨论，教师是促进概念转变的一个因素。因此，概念转变不再被认为是只受认知因素的影响。情感、社会和情境因素也能影响概念转变。在培养概念转变的教学或学习环境设计中，所有这些因素必须综合考虑。
二、概念转变的定义、形式和过程
概念转变大致可以定义为改变已有概念的学习，如信仰、观点或思维方式。概念转变一般包括两种形式：(1)丰富，即同化。新概念与原有概念之间基本是一致的，个体很容易理解新概念，并能很快地接纳。新概念补充了原有概念，使原有概念更加完善。这种形式主要通过积累的方式发生。(2)修订，即顺应。新概念与原有概念不一致，产生冲突，需要对原有概念进行分析、判断和权衡，从而建立新的概念。这种转变不是细枝末节的变化，是从本质上对原有概念进行调整和改造。
概念转变是个不断循环的过程，当学习者碰到新旧概念之间不一致的情况时，就会产生一种认知冲突感。这需要学习者对两者进行分析和判断，思考各自的合理性、正确性，并最终对新旧概念做出权衡和调整，从而产生新的概念。
三、概念转变的教学策略和条件支持
一般来说，学习者的已有概念很难转变。因为学习者正是依赖这些既有概念来理解和看待他们周围的世界，他们不会轻易放弃这些概念，而采取一种新思维方式。因此，仅仅呈现一种新的概念或告诉学习者他们的概念是不正确的，这并不能转变他们的概念。概念转变的教学需要运用建构主义方法，使学习者能够积极主动地重新组织他们的知识。认知冲突策略，来源于皮亚杰的建构主义学习观，在概念转变的教学中是一种有效的工具。这种策略需要创建一种环境，在这个环境中，学生关于某个特定现象或主题的既存观点一目了然，然后直接质疑，为的是制造认知冲突或认知失衡。也就是说，学习者必须变得对他们目前的概念不满意，然后接受一种可理解的、似是而非的、有成效的选择性概念。概念转变的教学主要包括两个步骤：一是揭示学生对某个特定主题或现象的先前概念；二是用各种不同的技术帮助学生改变他们的概念框架。
波斯纳等通过研究发现，要实现概念转变，需具备四个条件：(1)对现有概念的质疑，即现有概念不能解释或解决眼前的问题，因此，学习者会重新思考现有概念。(2)新概念的可理解性，即学习者应对新概念建立整体一致的理解，而不仅仅是字面的理解，能够用自己的话说出概念是什么意思。(3)新概念的合理性，即新概念应能与个体所接受的其它概念相一致，如，与自己其它理论或知识、经验、直觉一致等。个体看到新概念的合理性，意味着他相信新概念的真实性。(4)新概念的有效性，即个体认为新概念能解决其它知识概念所难以解决的问题，并能展示出新的方向和新思想，具有启发意义。这意味着个体把新概念看作是解释、解决某问题的更好的途径。概念的可理解性、合理性、有效性之间密切相关，其严格程度逐级上升，对概念的理解是看到概念的合理性的前提，而看到概念的合理性又是意识到其有效性的前提。
四、概念转变教学模式
1.展现学习者的已有概念。概念转变教学的一个基本假设就是“新概念(学习)的建构，只能以既存的概念为基础”。即使已有知识(不管正确与否)允许我们随意看待世界，我们也不能对它毫不在意。因此，概念转变教学的第一步也是最重要的一步就是，让学生意识到他们对某个即将学习的主题或现象的观点。
2.提出并呈现问题。为了引出学习者的概念，教学必须从呈现问题开始。呈现的这个问题必须让学习者运用他们的已有概念来理解。呈现的问题可以是这两种：不知道结果或结果已经知道。在“不知道”的问题中，教师让学习者先预测结果，然后解释他们预测的结果。在“知道”的问题中，学习者不做预测，然而，他们必须解释这个事件。
3.要求学生描述或呈现他们的概念。学习者呈现他们观点的方式有很多。他们可以写下描述、画图表、创建物理模型、画概念地图、设计网页或者把这些方式随意组合，以表明他们对某个特定概念的理解。如果有电脑或合适的软件，学习者还可以用别的呈现方式(用DPT或其他的软件)，创建模型或模拟，或者创建概念地图。不管使用何种方法，这一步的目的就是帮助学习者认识并开始澄清他们自身的观点和理解。一旦学习者的概念弄清楚以后，教师就可以把它作为下一步教学的基础。
4.讨论并评价已有概念。这一步的目的就是让学习者通过小组讨论或全班讨论，澄清并修正自身的原有概念。如果这是教师的第一个概念转变学习活动，最好晚一点开始。在学习者以小组的形式互相评价别人的概念之前，教师可以先示范一下这个评价过程。开始，教师请多个学习者进行陈述(概念)。陈述完毕后，教师引导同学逐个评估每个观点的可理解性、合理性和成效性。努斯鲍姆和诺维克认为，教师应该接受所有的观点，不要进行价值判断。教师还应提到每个观点的学生名字，在全班讨论之后，持不同观点的学生组成～组，互相评价观点。每个小组都要选出一个观点(或者通过评价修改后的不同观点)，提出选择的基本原理，并把这个原理展现在全班同学面前。允许学习者对自认为最好的观点进行投票，并加以解释，可以增强学习动机。
5.制造概念冲突。学习者通过向其他同学陈述自身的观点，并得到同学的评价，开始意识到他们自己的观点。学习者变得不满意于自身的观点，观点冲突开始建立。认识到他们观点的不足之后，学习者也更易于改变原有观点。要制造更大的冲突，教师就要创造差异性事件。这个差异性事件是学习者用目前的观点无法解释的现象或事件，但用本次教学主题中的观点却可以解释。在这点上，如果没有学生持“正确”观点，教师就应该建议用前一个班某个学生提出的观点。如果在观点转变活动开始之前，教师还不知道学生对某个主题或现象的正确与不正确观点，就不宜提前设置差异性事件。在这些案例当中，教师应该让学生提出决定哪个学生的观点能最好地解释“现存问题”的方法。如果这个科目是科学，学生应该提出一些实验。教师也可以呈现与学生现有观点相冲突的不规则数据，来创建差异性事件。
6.鼓励认知调适。学生应该有对自身概念和目标理论问的不同进行反思和顺应的时间。教师应该把反思活动整合到课程当中，以促进认知协调或重构学生的先前概念。
7.创设合作性学习环境。一个合作性的学习环境对成功的概念转变教学是非常必要的。必须有机会讨论，学生在分享观点、思考和评价其他观点时必须有安全感。这种“安全因素”在教师运用上述认知冲突策略时尤为重要。一项研究表明，低成就感的学生会丧失自信，把冲突看成是另一种失败。
要成功实施概念转变的教学策略，教师和学生在建构主义学习和小组合作性学习方面应当有些体验。习惯了教师传授式教学(如直接教学)的学生在参加讨论活动时动机就会弱一点。教师必须能熟练掌控班级小组，充当帮促者的角色。