数学概念教学是小学数学教学的重要内容之一，也是学生解答其他数学问题的基础。所以，概念教学一直以来深受数学教师的重视。但是，由于数学概念具有很强的抽象性，造成许多数学教师不知道该从何入手来进行教学，直接影响了学生对其他数学知识的掌握与技能的提升。笔者经过实践认为，要想让学生扎实有效地掌握数学概念，教学时要在遵循学生认知规律的基础上“演奏”三部曲。
下面，就结合苏教版小学数学六年级上册“倒数的认识”的教学来谈一谈小学数学概念教学。
一、在呈现过程中让学生感知概念
小学生对于数学知识的认知一般都要经历由直观形象向抽象数学的转化过程，概念教学也不例外。在教学时，我们要为学生呈现与概念定义相关的内容，让学生感知知识初步形成概念的表象。
【教学片断一】
出示教材第50页的例7，让学生自主计算。
下面几个分数中，哪两个数的乘积是1？
师：大家看一看，乘积为1的两个分数都有什么样的特征？
生1：我发现这两个分数就是把分子与分母相互倒过来。
师：对，我们可以给这两个分数起一个什么样的名称呢？
生2：倒数。
师：老师还有一个问题，3×1/3也等于1呀，但它们却没有调换分子与分母呀？
生3：我们可以把3写成3/1呀，那么它就可以写成3/1×1/3＝1，这也是把分子与分母给倒过来的。
师：求一个分数的倒数，只要把它的分子与分母倒过来就可以了。倒数除了把分子与分母给倒过来，还有什么样的特征呢？
生4：它们的乘积是1。
师：我们可不可以说乘积是1的两个数互为倒数呢？
生：可以。
师板书后学生齐读。
教师通过为学生学习倒数概念而提供一系列的练习，让学生在自主计算中发现乘积为1的两个分数之间的关系。这样，学生的脑海中就会形成了一个倒数概念的雏形“只要把分数的分子与分母倒过来，就互为倒数了”，同时也通过3与1/3这两个数进一步加深学生对倒数概念的认识。
二、在探究过程中让学生完善概念
学生通过教师提供的材料初步感知数学概念，这只是学生对概念的初步认识，到底数学概念有什么样的特征，在运用概念来解决数学问题时要注意什么，学生还必须通过自己的不断探究才能形成。学生只有通过对数学概念进行分析、比较，寻找概念最本质的东西，把数学概念的一些核心属性进行抽取，才能形成一个完整的数学概念。
【教学片断二】
师：大家都知道乘积为1的两个数互为倒数，那么，“互为”是什么意思？
生1：互为就是相互的意思，也就是说这两个乘积为1的两个数才能互称为倒数，如果换到其他数身上就不是倒数了。
师：那谁能举一个例子来证明一下呢？
生2：比如，3/4与4/3乘积为1，3/4只能与4/3互为倒数，它不是1/3的倒数，更不可能是别的数的倒数。
师：3/4与4/3乘积为1，那么能不能说3/4是倒数，4/3是倒数呢？
生2：那也不可以。倒数是相对的，4/3只能是3/4的倒数，而不能单单说它是倒数。
师：噢，老师明白了，倒数不能单个来说，应该说什么数是什么数的倒数。
生：对。
师：现在请小组合作，研究一下0和1的倒数是什么。
（学生小组活动）
生3：我认为1的倒数还是1，0的倒数是1/0。
师：还有不同意见的吗？
生4：1的倒数是1是对的，因为1可以写成1/1，倒过来还是1，那也就是1，但是0不能作分母，所以我感觉“0的倒数是1/0”应该不对。
师：那么，0的倒数应该是什么呢？大家讨论后回答。
生5：我认为0没有倒数，因为0和任何数相乘都是0，而不是1，所以与“乘积是1的两个数互为倒数”这个概念不吻合。
……
在学生形成清晰的数学概念过程中，必须要有学生的主动探究在里面，只有这样，学生得到的数学概念才是最有效的。在这个教学过程中，教师注重让学生自主探究“互为”的概念，进一步强化了学生对倒数的认识——倒数不是孤立存在的，而是两个数相互依存的。同时，也让学生明白了1的倒数就是它本身，而0没有倒数，让学生从更深层次上理解了倒数的概念，从而提高了学生掌握概念的能力与数学水平。
三、在练习过程中让学生延伸概念
学生掌握数学概念的目的不仅仅是在脑海中形成数学概念，知道如何来运用概念解答一些数学问题。数学概念虽然通过探究在学生脑海中已经形成，但是要想让学生可以灵活运用概念，还要让学生练习各种有关数学概念性的习题，让学生通过练习来拓展概念，延伸概念，从而达到灵活运用概念的目的。
【教学片断三】
投影出示了下面的练习题。
写出下面各数的倒数：
（1）12/3与（
）互为倒数；4/7与（
）互为倒数。
（2）2．5与（
）互为倒数；0．2与（
）互为倒数。
（3）1/9与（
）互为倒数；6与（
）互为倒数。
师：你们在求这几组倒数的过程中，发现了什么？
生1：我发现带分数的倒数一定是真分数，而真分数的倒数一定是假分数。
生2：我发现要想求一个数的倒数，没有必要非得把它转换为分数后再来求，只要用1来除以这个数就可以了。比如，2．5与0．2的倒数，我是直接拿1来除以这两个数的小数部分，也能得到它们的倒数，这样就省去了小数与分数的相互转化的环节了。
生3：直接拿1来除以这个数的话，有时也不方便，比如求0．3的倒数，1除以0．3是除不尽的，所以最好还是把它先化为分数，这样就不会出错了。
生4：我发现了只要是分子是1的分数，那么他们的倒数就一定是整数，而整数的倒数的分子一定是1。
这样，学生在不同的题型、不同的训练过程中，提高了对倒数的认识水平，延伸了倒数的外延。学生通过练习求一个数的倒数知道了不同的方法与策略，从而培养了学生从不同角度来看问题并解决问题的能力。
【关键字】高中物理；抽象概念教学；迁移
物理概念的学习是物理学习中非常重要的一个环节，而对于一些抽象概念，学生理解起来难度通常偏大，概念理解不清会直接影响学生后续知识的学习。只有深入了解，并将学生易懂的前概念和熟识的生活常识迁移到抽象概念的学习中，学生才能真正理解每一个概念。
1.存在的问题及成因分析
笔者通过对几所高中的部分学生和老师进行访谈了解到：（1）部分学生觉得概念课比较无聊，不听也无所谓，下课通过看书把概念背下来就可以了。（2）大部分学生感觉学习概念生硬古板，（3）对于一些抽象的概念，学习结束后竟不知道这个概念是干什么用的。（4）部分老师在概念课教学中只讲定义，公式，除此之外觉得没什么可讲的，导致课堂时间有大量结余。（5）部分教师在概念讲解结束后，应用用大量的练习题目来进行巩固。
产生这些问题的原因主要是：（1）教师自身知识储备不足，对部分概念尤其是一些相对抽象的概念自己掌握的并不是十分透彻，所以在概念教学时难免有畏惧心理，生怕讲错，所以索性能少讲就少讲，避免多说多错。（2）教师自身对概念学习重要性认识不足，认为概念学习只要把概念背下来就好，所以在这种思想的影响下备课准备不充分。
1解决问题的策略
要想提高抽象概念教学的有效性，使学生对概念有深刻理解，笔者认为可以从以下几个
方面重点突破。
1.1已知概念迁移，让学生尝试定义抽象概念
高中学生头脑中已经储备了一定数量的已知概念。通过利用已知概念情境类比，让学生自己尝试定义新概念，可以使学生更容易更快的接受这些新概念，尤其对一些抽象概念的理解益处更大。
案例1《电势能和电势》一课中“电势能”概念的学习
这是一节市公开课，在电势能及电势的教学设计中充分挖掘学生头脑中已知的物理概念，利用已知的物理情境引出新的概念，从而使新概念的学习水到渠成。
教师：试探电荷q在场强为E的匀强电场中，沿不同路径从A运动至B，静电力做功分别为多少？（1）沿直线从AB？（2）沿折线AMB？（3）沿任意曲线AB?
学生：（1）沿直线从AB？W＝F|AB|＝qE|AB|
（2）沿折线AMB？W＝F|AB|cosθ＝qE|AB|
（3）沿任意曲线AB?W＝W1+W2+W3+……＝qE|AB|
教师：静电力做功与路径有无关系？
学生：静电力做功与路径无关，只与始末位置相关。
教师：“做功与路径无关”，这话听起来很耳熟，在高一必修课中也曾学习过某个力做功与路径无关――重力；正是因为重力做功与路径无关，物体在重力场中每一点都有相应确定的能量，这种由于位置而具有的能量称之为重力势能。静电力做功与路径无关，说明电荷在电场中每一点都有相应确定的能量，这种能量也与位置相关，根据它的特点我们给它定义个什么名字好呢？
学生：与位置相关的能量――势能
在电场中与能量相关的能量――电势能
重力势能是学生在高一课程中所学习的概念，对重力势能还是比较熟悉的，通过已知概念将较为抽象的“电势能”引出，并让学生自己根据它的特点为之命名，以此加深学生对新概念的理解。使“电势能”不再那么抽象。
案例2《互感和自感》一课中“自感”概念的学习
这是在《互感和自感》新课教学中有关自感定义学习的片段。
教师：一个线圈中电流变化，它所产生的磁场在另一个线圈中产生感应电动势，这种感应电动势称为互感电动势。
这种互相感应的现象也称为互感现象。
教师：线圈自己的电流变化会对自己有影响吗?
学生1：可能有
学生2：应该没有吧
教师：自感线圈演示实验
教师：我们看到当一个线圈中的电流变化时，它所产生的磁场不仅在邻近的电路中激发出感应电动势，同样在他自身所在回路中也产生了感应电流，这种在自身激发出感应电动势我们叫它什么合适呢？
学生：自感电动势
教师：很好，线圈彼此感应出电动势的现象叫互感现象，那么这种自己使自己感应出电动势的现象叫什么合适呢？
学生：自感现象
在电磁感应这一章节的学习中，学生对互感现象的理解相对容易一点，但对于自感现象，理解起来相对抽象，所以借助互感现象来学习自感现象的概念，这样的迁移更易使学生接受这个较为抽象的新概念。
1.2生活常识迁移，让学生重新理解抽象概念
对于高中学生来说，已经掌握了很多生活中的常识，对待这些常识，他们就像条件反射一样习以为然，若能将这些常识知识利用起来，使之成为学生理解抽象概念的阶梯，这将大大缩短学生学习抽象概念的时间。有利于在头脑中对概念进行系统建构，加深对抽象概念的理解。
案例3《电容器的电容》一课中“电容”概念的学习
这是在《电容器的电容》一课中，有关帮助学生理解“电容”的学习片段
教师：电容器充电后，两极板带等量异种电荷，两极板间产生电场，两极板间有电势差，电容器两极板间电势差与电容器带电量之间有何关系呢？
经研究同一电容器带电量与电势差的比值相同，不同电容器带电量与电势差的比值不同。这能说明什么呢？
学生：两极板间电势差与电容器带电量的比值只跟电容器相关。
教师：很好，我们定义两极板间电势差与电容器带电量的比值为“电容”，这是一个表征电容器储存电荷能力的物理量。
（此时学生有点茫然）
教师：如何来理解这个概念呢？生活中，不同的水桶储水能力不同，比如说：
有3个底面积分别为1m2,2m2,3m2的水桶，若使这三个水桶都装上高1m的水，那么三个水桶中的储水量就分别为1m3,2m3,3m3,大家想，在储水高度相同的情况下，储水量直接由什么因素决定呢？
学生：水桶的底面积。
教师：很好，“底面积”是一个表征水桶储水能力的物理量，这个量只与水桶本身性质相关，与“高”、“储水量”无关。
而电容器的“电容”就好比水桶的“底面积”，比如说：有三个电容器，他们的电容分别为1F,2F,3F,欲使其电压升高1V，电容器分别能储存多少电荷？
学生：分别为1C,2C,3C。
教师：由此可以看出，电容器储存电荷的能力直接由“电容”这个物理量来决定，“电容”表征了电容器储存电荷的能力，它只与电容器自身因素相关，与电容器两极板间电压无关，与电容器两极板带电量无关。
学生在学习电容器的“电容”这个概念时，对其表达式的理解和接受相对容易，但对其真正的本质，以及为什么要学习这个物理量并不是十分清楚，通过对水桶底面积来表征水桶储水能力这一生活常识的迁移，使学生深刻理解“电容”这个新概念，对于学生而言，学习概念不再仅仅是简单的机械记忆，而是知道为什么学习这个概念，以及这个概念到底有着怎样的实用价值，而这个价值是不能用分数来衡量的。
结束语
与常见的照本宣科相比，上述的教学过程按照学生的认知心理和发展规律，通过已知概念的迁移和生活常识的迁移，将新的学习内容展现在学生面前，使学生在头脑中完成抽象概念的建构，只有这种知因知果的、有阶梯性的学习，才能使教学真正变得有效。
【摘要】数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言组合而成的科学语言。数学语言的发展与数学思维的发展相辅相成、互相促进。教学时，教师需要引导学生在多元表征和多重编码中认识和理解其相互之间的联系，促进学生实现数学语言的发展。
【关键词】描述性表征；叙述性表征；数学概念；数学语言
中图分类号：G623.5文献标识码：A文章编号：1671-0568（2016）19-0004-03
数学语言是一种由数学符号、数学术语和经过改造的自然语言组合而成的科学语言。数学语言是数学思维的载体，是学生借以表达数学思想、解决数学问题的工具。小学生数学思维的形成与发展从某种意义上来说是借助数学语言实现的，数学语言的发展与数学思维的发展相辅相成、互相促进，要提高学生的思维能力，就必须培养学生的数学语言能力，即通过培养学生的数学语言能力来促进思维能力的发展。多元联系表征，是利用数学对象表征形式的多样性，对同一个数学对象（数学概念、法则、表达式、定理、定义等）给出多种不同的表征方式（图、表、文字或符号等），引导学生从不同的角度加以理解，以此促进学生数学语言发展。数学概念的表现形式是多样的，认知科学从多元表征角度出发，将数学概念的表征形式分为两类：一类是描绘性表征，也叫视觉化表征，本质上是图象，主要是运用图元素对数学对象进行的描绘，几何图形、动态图象、教学模型、操作活动等都属于此类；另一类是叙述性表征，也叫言语化表征，本质上是抽象符号，主要是运用言语对数学对象进行的描述。
小学教材里的数学概念，既有视觉化的描绘性表征，也有言语化的叙述性表征。
下面，笔者以第一学段“倍的认识”和第二学段“认识平行”两个教学片断为例，阐述教师在数学概念教学中，怎样对同一数学对象既给出描绘性表征，又给出叙述性表征，并利用数学概念的多种表征形式，将不同表征方法中所蕴涵的信息组合在一起，优势互补、相辅相成，帮助学生全面、深刻地理解和掌握数学概念，发展学生的数学语言。
一、多元表征中掌握“倍”的概念，发展数学语言
二年级“倍”的概念是一个起始概念，此概念的建立对于学生后续学习至关重要，但“倍”的概念也较为抽象，因为“倍”不是一个具体的量，实质上是表示两个量之间的关系。让二年级学生深刻理解、牢固掌握“倍”的概念，有利于他们今后准确运用“倍”这个数学语言进行有效交流，解决实际问题。
【“倍的认识”教学案例】
1.实物操作，初识“倍”的概念――动态图象表征
教师引导学生进行实物操作，第一行摆出3朵一组的红花，再在第二行并排摆出两个3朵一组的蓝花。学生在动手操作中，根据第一行和第二行不同颜色花的数量特征，进行操作和交流，可清晰地认识到：蓝花朵数和红花朵数相比，如以红花朵数为标准，把3朵花看作1份，蓝花朵数有这样的2份，蓝花朵数是红花朵数的2倍。
2.文字表达，掌握“倍”的概念――图文结合表征
在学生动手操作的基础上，再引导学生根据给出的不同颜色的花的朵数，动手圈一圈，填一填，说一说，用文字表达的形式，加深对“倍”的概念的理解。如红花有4朵，蓝花有2份4朵，蓝花的朵数是红花的（）倍；又如黄花有2朵，蓝花有（）个2朵，蓝花的朵数是黄花的（）倍。
3.解决问题，运用“倍”的概念――图符结合表征
在解决“黄花朵数是红花的几倍”问题时，学生基于对“倍”的概念的理解，尝试写出相应的算式（符号语言）表达思考的过程。教师适时追问算式表达的实际意义，引导学生对算式作出解释：12表示黄花的朵数，2表示红花的朵数，12朵里面有6份2朵，所以黄花朵数是红花的6倍。
【思考】二年级学生理解掌握“倍”的概念，起于视觉化的描绘性表征，而且这种视觉化的描绘性表征贯穿了学生整个概念建立和运用的过程。指导学生借助操作实物，对数量的认知从“个数”上升为“份数”，利用动态图象表征“倍”的概念，触及概念的本质，初步理解“倍”的概念。接着引导学生观察每组不同颜色花的朵数，完成相应填空，这样以“直观图形+文字表达”图文结合的方式表征“倍”的概念，是依据二年级学生的认知发展水平，引导学生对“倍”的概念既作出描绘性表征，又作出叙述性表征，从而达到教学目的。此教学环节对学生的数学语言能力发展起着“脚手架”的作用，也为接下来学生摆脱具体图象，直接运用“倍”的概念进行数学交流奠定了基础。最后，在解决“黄花朵数是红花的几倍”的问题时，学生有了之前图文结合表征的基础，就能准确地运用算式（符号语言）表征“倍”的概念。虽然此时图象作为叙述性表征的辅助功能依然存在，但视觉化描绘性表征的成分明显减弱，学生更倾向于运用符号语言表示解决问题的过程。
在理解掌握“倍”的概念过程中，学生的思维由直观到抽象，对“倍”的概念既有视觉化的描绘性表征，又有言语化的叙述性表征。从信息加工理论的角度来看学生的认知过程，既有直观图象支撑理解，又有文字语言同步表达，还有抽象数学符号予以对应。学生主动对“倍”的概念进行多重编码，多元联系表征大大增强了数学概念不同方面的联系，使学生对此概念的理解深刻，掌握牢固，进而能够正确运用“倍”的概念进行数学交流，发展自身的数学语言能力。
二、多重编码中认识“平行”概念，发展数学语言
平行和相交是学生在认识直线、射线、线段以及角的知识基础上学习的，也是学生认识平面图形和立体图形的基础。平行和相交虽然在日常生活中应用广泛，但由于生活的局限性和学生年龄尚小等原因，空间观念及空间想象能力不足以正确理解“同一平面”的本质，而研究同一平面内两条直线位置的相互关系，学生还没有建立表象，这就需要教师用合适的方法帮助学生认识平行的原理，并用数学语言表达概念。
【“认识平行线”教学案例】
1.提供表象代码，埋下平行概念
猜一猜：“无始无终”这个词（配合动画演示金箍棒伸缩）描述了我们学过的哪种图形的特征？出示4幅图，引导学生从四幅图中分别找出两组直线。
师：同学们，你能用手势模仿每幅图里两条直线的位置关系吗？（学生动手模仿）
师：你能根据两条直线的位置关系给他们分分类吗？为了表述方便，我们给每组直线标上序号。（同桌之间互相讨论分类的理由）
预设有两种：（一）①，②③④；（二）①④，②③。
师：第4组存在不同意见，这两条是什么？
生：直线。
师：直线有什么特征？
生：无限延长。
师：既然可以无限延长，那如果我把这2条直线画长一些，会出现什么情况？（生认真思考）（课件演示延长并相交）所以，观察直线不能仅靠眼睛，有时还要想象。看上去不相交的这两条直线说不定延长后就是相交的。
【思考】金箍棒是学生喜欢和熟悉的，其能无限伸长的形象正好与直线无限延长的数学特点相类似。4幅图都是学生熟悉的生活画面，从中抽象出数学意义上的4组直线，并研究它们的位置关系，揭示相交的概念。教师有意识地从直观形象入手，恰当运用表象代码，帮助学生建立描绘性表征，在此基础上进行适度抽象，运用语义代码作叙述性表征。
2.观察想象比较，初识平行概念（描绘性表征）
现在我们来看图4里②③的2条直线。为了让大家看得更清楚，我把它们移到点子图上（课件展示在点子图上）
师：第四幅图里的2条直线看上去不相交，可是画长一些后，它们又相交了，那这两幅图里的直线画长了，会不会也出现相交的现象呢？
让学生大胆猜测。
师：（课件演示向一端延长）延长一些，相交了吗？
生：没有。
师：再延长一些，相交了吗？（课件演示向另一端延长）
生：没有。
师：再继续延长呢？闭上眼睛想象，这两条直线延长出黑板，延长出我们的教室，会相交吗？为什么？
生：不会，因为两条直线之间的距离总是保持着两格的距离，一直延长下去也不会相交。
师：在数学上，像这样两条直线的位置叫做相互平行。
3.规范不同表述，建立平行概念（叙述性表征）
师：谁能说说什么样的两条直线互相平行？
生：不相交的两条直线互相平行。（教师给予充分肯定）
师：是不是所有不相交的两条直线都互相平行呢？咱们来做个游戏（出示课前准备的两条可伸缩的小棒，一根固定在硬纸板上，一根戳过硬纸板），这两条直线的位置关系又是怎样的呢？
师：分别延长这两条直线，它们相交了吗？再延长，它们相交了吗？那它们互相平行吗？（师边问边延长）
学生通过观察得出：既不相交也不平行。
课件出示平行线的概念，再次强调：我们今天研究的两条直线的位置关系是指在同一平面内。
教师再次引导学生结合图形，采用不同的语言方式进行表述：同一平面内，不相交的两条直线互相平行。直线a与直线b互相平行；直线a是直线b的平行线；直线b是直线a的平行线。
【思考】教师首先引导学生从常见的实物图上抽象出四组直线，在对直线位置关系进行分类的基础上，通过观察、想象和比较，层层递进，对平行概念进行描绘性表征。描绘性表征运用的是表象代码，是记忆中关于事物的形象，有着与实际知觉相类似的性质，这里从实物画面上抽象出来的多组平行线是学生进行描绘性表征丰富的表象代码。接着，教师引导学生采用不同的语言表述方式，正确表述平行概念，是对平行概念的叙述性表征。叙述性表征是一种抽象的意义表征，运用的是语义代码，具有命题的形式，所以它又称为命题表征。
描绘性表征直观、形象、具体，能描述对象整体信息；叙述性表征概括性和抽象性较强，能够传达数学对象的本质内涵。叙述性表征适合逻辑推理，便于传递抽象信息；描绘性表征适合直观展示，便于传递具体信息。
显然，在数学概念教学中，教师既要引导学生运用表象代码对概念进行描绘性表征，又要引导学生运用语义代码对概念进行叙述性表征，这样才能发挥学习材料的直观作用，为学生提供视觉映像。通过双重编码的作用，既形成言语记忆痕迹又形成视觉记忆痕迹，帮助理解数学概念，发展学生的数学语言。
总之，在数学课堂教学中，教师要根据教学内容和学生的数学认知发展水平，灵活运用多元联系表征策略，促进学生对数学语言的理解和运用，多渠道发展学生的数学语言。
参考文献：