1.问题的提出
一位教师在教学“直线”的概念时创设了如下的教学情境：
让学生直观感受生活中的直线。出示图片，如铁轨、行进的队列等导入新课。
教师组织学生进行活动，让学生在教室内排起方阵，横竖成行，以体验直线公理——两点确定一条直线。分别进行以下活动：
①教师让一个学生起立，要求与该学生共线的学生起立。最后教师总结：因为每个同学都可以与该同学共线，所以经过一点有无数条直线。
②再让两个学生起立，凡与这两学生共线的起立。教师总结：经过两点有且只有一条直线。
③最后要求三个学生起立，凡与这三学生共线的起立。教师总结：过三点的直线不确定。
“奇文共欣赏，疑义相与析。”从某些教育学老师的观念看，本节课这位教师贯彻了新课程的教育理念，能够注重教学情境的创设，充分组织学生活动，体现了新课程所倡导的“数学教学是数学活动的教学，数学学习是以学生为主体的学习活动”，课堂气氛非常热烈，因此，给本节课带来一片叫好之声。然而从数学的观点来分析，这节课很不严谨。由于教师自身数学素养的缺失，没有处理好情境的“数学化”。这种追求数学本质以外的表演课使数学课堂教学变味，给学生的数学学习带来负面影响，因此是对数学教学活动的亵渎。
2.问题的分析
该教师在教学过程中没有明确直线的本质属性，不了解数学教学中创设问题情境的目的，不了解情境的局限性，不能从数学认知的角度对问题情境进行抽象。比如，在本节课中，该教师所创设的直线有关问题情境和直线的概念之间存在着以下矛盾：
2.1从有限与无限这对矛盾上：情境中描述直线的队列是由有限个人组成；而直线是由无限个点组成。
2.2从一维空间与三维空间这对矛盾上：情境是三维立体的；而直线是一维的。
2.3从连续与间断这对矛盾上：情境是间断的；而直线是连续的。
2.4从具体与抽象这对矛盾上：情境是既有宽度又有高度；而直线没有宽度。
2.5从特殊与一般这对矛盾上：情境只给出了一个原形；而直线是许多原形形式化抽象。
2.6从近似与精确这对矛盾上：情境高低不平，定义粗糙不严格；而直线揭示概念的本质属性应该是“很直”。
2.7从现实与形式这对矛盾上：情境的队列在生活中存在；而直线在生活中却是不存在的。
3.对问题的思考
在数学教学中创设情境时必须做到以下几点：
3.1明确创设情境的目的与意义
所谓教学情境，是指“在教学过程中，教师出于教学目标的需要，根据一定的教学内容，用真实的情境呈现有待解决的问题”。
教师创设问题情境的目的，是把数学新知的学习建立在学生生活实践的基础上，通过营造现实有趣的学习背景，引导学生观察实物或教具，让学生亲自动手实验与测量，以获得知识，用熟悉的生活实例说明数和形的特征，说明法则与公式的由来。
创设情境让学生有机会感悟数学：看到数学起源于现实，看到数学应用于生活，感知到数学是对客观世界进行空间形式和数量关系方面的猜想化、形式化的刻画，进而认识数学是认识世界、改造世界的工具。
3.2处理好创设情境与“数学化”的关系
数学教学中强调创设情境，不是说数学等同于情境，再好的情境都有它的局限性，它不像数学概念那样准确与简洁。曾经听过角的概念的教学，老师出示钟面创设情境，要求学生找出钟面上时针与分针组成的角，当学生指出时针与分针是两条线段不能组成角时，老师只能张口结舌。与上例直线一样，现实情境的有限性难以描述抽象概念的无限性，现实情境的离散性难以表达直线的连续性。由于数学“是忽略了物质的具体运动形态和属性的抽象结构与模式”，教师要善于提炼情境中包含的数学概念的本质属性，让学生经历“数学化”的过程。
所谓“数学化”，简言之，即用数学的思想与方法将实际材料组织起来。数学教师在数学教学中不仅要创设问题情境，重视数学与外部的联系，而且特别要重视数学内部的逻辑联系。正如弗赖登塔尔所说：“数学教学不要教孤立的片段，应该教连贯的教材。”
关键词：网络硬盘；QQ群；在线教学；移动学习
中图分类号：G434文献标志码：A文章编号：1673-8454（2014）14-0087-02
一、引言
《星际演化与外太空探索》是中国矿业大学开设的一门通识教育选修课。在教学过程中我们感到，天文观测技术和外太空探测技术的发展日新月异，所取得的成果层出不穷。天文学和外太空探索方面的知识更新速度之快，信息容量之大，使得传统的课堂教学远远跟不上其更新的步伐，这就要求我们必须寻求一种高效、及时、便捷的知识传授方式来使学生能够在课外非常便利的接触到该领域发展的最新成果。在现代信息技术飞速发展的今天，借助互联网技术搭建具有资源下载和在线教学功能的教学平台来实现教学资源的及时更新和传授无疑是一个最好的选择。然而，由于受昂贵的硬件设备、复杂的建站技术和繁琐的后期维护等因素的限制，很多教师无法独立搭建和自己的课程相配套的教学平台。针对这种情况，我们以“免费，设备免维护，能实现大数据存储和在线互动交流”为原则，在众多的网络资源中筛选适合构建教学平台的免费资源。最终我们选择了网络硬盘和即时通讯软件QQ作为技术支撑，以此建立了集“资料下载、在线教学、移动学习”功能于一体的立体开放式的教学平台，从而将课堂教学、在线教学、线下自主学习有机的结合在了一起，达到了将天文学和外太空探索领域的最新成果及时推送给学生的目的，给学生提供了一种全新的学习体验。
二、课程资料平台的搭建
1.课程资料的数字化
《星际演化与外太空探索》课程涉及到的资料主要有讲义、幻灯片、视频教学片、课外阅读材料、天文观测软件等。为了使这些教学资料能方便的在网络上分享，我们将纸质的讲义和课外阅读材料进行了扫描并转换成PDF格式，从而使所有的资料都具有电子格式，这就使得这些资料可以很容易的在网络上进行分享。
2.课程资料存储平台的构建
目前计算机硬件技术不断发展，数据存储技术也有了不同层次的突破，于是数据在线存储技术应运而生。[1]目前可以实现数据在线存储的方式有许多，如：电子邮件里的附件功能，QQ群里的群共享功能，以及时下较为流行的网络硬盘（如115网盘、百度网盘等）等。前两者由于空间容量有限，所存储的内容也仅限于一般的文本文件、小型的软件等，对于体积较大的文件则无法长期存储，而网络硬盘具有存储容量大、免费、高速、稳定、安全等优异特性，因此，我们选择了网络硬盘作为课程资料的在线存储平台。
三、在线教学活动的开展和线下自主学习的实现
1.在线教学活动的开展
在线教学活动首先要能够将学生组织在一起，其次，要能够实现教师和学生的实时互动，这就需要即时通讯软件的支持。因此，我们选择了腾讯公司开发的即时通讯软件QQ。在这个软件的支持下，我们按照下面的步骤开展在线教学活动：
（1）利用QQ软件建立本课程的课程群，在课堂教学的时候将群号公布给学生，学生可以自由申请加入，这样就有效的将学生在网络上集中到了一起。
（2）利用QQ群的群投票功能，由学生投票选出最感兴趣的天文问题，教师从中挑选出有代表性的问题，制作相应的电子课件，与学生约定好时间，利用QQ群的群视频功能以专题讲座的形式进行讲解。
（3）QQ群视频不仅可以通过摄像头实现教师与学生面对面的交流，而且最新版的QQ群还能在线播放PPT格式的文件，甚至可以播放视频文件给加入群视频的学生观看，教师利用这些功能就可以一边播放幻灯片，一边进行讲解，甚至可以通过直接播放视频来把某个问题阐述的更加形象、直观。同时，作为群成员的学生还可以直接以语音或者文字的形式将自己的问题实时的反馈给讲课的教师，实现了教师与学生的即时互动交流。对于讲授者来说，其便捷程度可以和传统的课堂教学相媲美，对于学习者来说，这种教学方式对于提升他们的独立思考能力，深化对所讲授内容的认识，发展批判性思维都有着不可磨灭的意义。[2]
2.线下自主学习的实现
由于已经将所有的教学资料上传到了网络硬盘上，所以，学生可以将资料下载到本地电脑上保存，也可以在线阅读网络硬盘里的文本资料，在线观看其中的视频资料。目前，国内比较著名的提供网络硬盘存储服务的大公司均开发了电脑客户端和支持智能手机的客户端，这就使学生除了通过浏览器访问网络硬盘之外，又多了两种便捷的方式。特别值得一提的是，目前的手机客户端已经实现了将保存在网络硬盘上的图片、音乐、视频、文档等直接调用手机内的程序来浏览阅读，这就意味着学生可以随时随地从手机上登录网络硬盘，查阅课程资料，观看视频教学片，实现了真正意义上的移动学习。而作为教学平台管理者的教师，我们也可以通过Web网页、电脑客户端、手机客户端等登录方式将天文学及外太空探索的最新成果上传到网络硬盘上，并通过QQ群及时的告知学生，从而避免了繁杂的网站更新工作，也使得学生能够实时掌握网络硬盘内容的更新情况。
四、该教学平台的优点及存在的问题
本平台借助在线存储技术和现代网络通讯技术，实现了课程所有资料的共享和在线教学，与学生实时互动，学生随时随地在线查阅课程资料等功能。该平台的搭建充分利用了网上的免费资源，这些资源技术先进，功能强大，有专业的技术团队进行维护，避免了教师自己建立教学平台过程中可能会遇到的硬件购买、技术支持以及后期维护等方面的困难，使得教师能够全身心的投入到课程建设中去。
但同时，这种平台也存在一定的问题：①整个教学平台是建立在互联网的基础上的，失去了互联网，整个教学平台的功能将无法实现。②网络学习没有监督，这就意味着部分自我约束力不强的学习者由于失去了教师的监督将导致学习效率下降。[3]
五、结束语
借助《星际演化与外太空探索》课程立体开放式教学平台，我们将课堂教学延伸到了课外，使得学生的知识能够得到及时的更新，即使学生修完了本门课程甚至是毕业离开了学校，他依然能够通过本平台继续获得最新的知识。该平台不仅对天文学知识和外太空探索知识的普及具有深远的意义，而且是实现教育终身化的一个有力的工具。该平台的建设不仅适合于本课程，对其他课程的平台建设也有一定的参考作用。
参考文献：
[1]王洋.浅谈网络硬盘的应用及其优势以及缺点[J].电脑学习，2009（4）：60-61.
关键词初中问题教学教学效能策略运用
1数学问题的设置应凸显教学主旨，实现学生对整体知识的准确把握
广大教师在教学实践中深刻认识到，教学内容的选择和设置不是简单的“随心而意”“信手拈来”，而应该在认真的思维和甄别中选择具有能够展现课堂教学内容的数学问题，达到“一夜而知秋”的教学效果，促使学生通过典型问题这一“桥梁”，实现对教学整体知识要点和内容的掌握。因此，教师要在教学活动的准备环节做好问题的选择和准备工作，在有效掌握知识内容基础上，选取能够体现知识体系数学问题，加深学生对整体知识内容的掌握和了解。
如在教学“相似性”章节知识内容教学时，教师根据“掌握比例的性质，会运用比例的性质进行简单的比例变形，理解黄金分割点的概念；理解相似多边形的概念，灵活运用三角形相似的判定定理以及特殊的直角三角形相似的判定定理；理解相似比的概念和相似三角形、相似多边形的性质”等相似形教学目标的要求，在问题练习环节，设置了“如图1，abcd是矩形，ah=2，hd=4，de=2，ec=1，f是bc上任一点（f与点b、点c不重合），过f作eh的平行线交ab于g，设bf为x，四边形hgfe面积为y，写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。”数学问题，让学生进行学习探知解答活动。学生在探析问题过程中，通过对问题条件极其内容关联性的分析，再结合课堂教学内容，能够对相似形的章节知识体系进行有效的掌握，从而促进和巩固学生对相似形知识点内容的有效掌握。
2数学问题的讲解应凸显指导效应，实现学生对数学问题的灵活解答
“教师为了不教”。教学活动的最终目的是提升学生的学习能力，让学生自己开展有效学习活动。因此，教师在教学活动中不仅要“授人以鱼”，更要“授人以渔”，教会学生学习的方法，让学生掌握探究知识的要诀和本领。因此，在问题教学活动中，教师要发挥学生的主体作用，引导学生开展解题活动，让学生在解题活动逐步领会和掌握进行问题解答的基本“精髓”和“要义”，为学生更好的开展学习活动打下能力和方法基础。
例题1：已知雅美服装厂现有a种布料70米，b种布料52米，现计划用这两种布料生产m、n两种型号的时装共80套。已知做一套m型号的时装需用a种布料1.1米，b种布料0.4米，可获利50元；做一套n型号的时装需用a种布料0.6米，b种布料0.9米，可获利45元。设生产m型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．①求y（元）与x（套）的函数关系式，并求出自变量的取值范围；②当m型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？
这是一道有关“一次函数”方面知识的数学问题，在进行这一问题教学活动时，教师为增强和提升学生的解题能力，掌握解题要领和解题精髓，采取先让学生找寻并思考问题条件中所出现的内容以及问题条件之间的关联点，然后教师引导学生从问题条件关联点中，寻找出问题解答的“方法措施”，最后教师带领学生共同开展问题解答活动，让学生在教师指导下写出问题的解答过程如下：
解：①y=50x+45（80-x）=5x+3600。
两种型号的时装共用a种布料[1.1x+0.6（80-x）]米，共用b种布料[0.4x+0.9（80-x）]米，解之得40≤x≤44，而x为整数，x=40，41，42，43，44，y与x的函数关系式是y=5x+3600（x=40，41，42，43，44）；
②y随x的增大而增大，当x=44时，y最大=3820，即生产m型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元。
例题2：如图2，在abc和dcb中，ab=dc，ac=db，ac与db交于点m。求证：abc≌dcb；（2）过点c作cn∥bd，过点b作bn∥ac，cn与bn交于点n，试判断线段bn与cn的数量关系，并证明你的结论。
此题是关于“三角形全等判定”方面的一道开放性问题，在进行这一问题教学时，教师要向实现学生解题能力的有效提升，可以采用“学生为主、教师为辅”的形式，教师在解题中发挥引导和点拨的作用，而将问题解答的主动权和机会留给学生，引导学生在结合所学知识，采用“分类、划归”等数学思想进行问题解答，学生在教师引导和指导下，自主进行问题的解答。这一教学活动中，教师通过适当性的引导和点拨，让学生结合所学知识，运用不同数学知识进行问题解答，从而有效促进学生在解题中形成良好的数学思想素养。
3数学问题的辨析应凸显教学功能，实现学生对解题习惯的有效形成
人们经常说：“事不说不清，理不辩不明”。教学活动中由于学生自身学习能力还没有完全形成，在学习过程中或多或少存在一些缺点和不足。而教学评价以其激励功效、评判功效、指导功效等方面的作用，能够对学生学习活动起到总结和促进的作用。因此，教师在问题教学过程中，可以在问题解答环节，引入教学评价机制内容，有意设置出具有矛盾性的问题情境，让学生结合自身解题经验，开展形式多样的评价活动，从而使学生在评析问题解答过程中，得到解题方法的掌握和解题习惯的养成。
例题：已知：抛物线y=ax2+4ax+m与x轴的一个交点为a（-1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点b的坐标；（2）d是抛物线与y轴的交点，c是抛物线上的一点，且以ab为一底的梯形abcd的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）e是第二象限内到x轴，y轴的距离的比为5：2的点，如果点e在（2）中的抛物线上，且它与点a在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点p，使三角形ape的周长最小？若存在，求出点p的坐标，若不存在，请说明理由。
关键词：课堂教学；探究；分析；解答
中图分类号：G632文献标识码：B文章编号：1002-7661（2014）18-166-01
如图（1）：已知抛物线的方程C1：y=（x+2）（x-m）（m）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧。
若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值。
在（1）的条件下，求ΔBCE的面积。
在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标。
在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与ΔBCE相似？若存在，求m的值；若不存在请说明理由。
分析：此类题型是每年各地中考的必考题型，主要考察学生对函数的综合运用能力。题目一般由3或4个问题要求学生解决，由易到难，一般来说，第（1）、（2）个问题大部分学生易解决，（3）或（4）问题大部分学生是可望不可求了。因为用到的知识点多，解题思路过程曲折。对于我们教师在教学中，此类题型如何探究、分析及讲解，让学生弄懂及掌握解题思路与方法？对于我们每一位数学教师来说，是值得思考的问题？
就多年从事数学教学，可以采用以下方法探究、分析及解答：
首先：要让学生弄懂题目的已知条件告诉了我们什么，结合图形理解，题目已知“抛物线的方程C1：y=（x+2）（x-m）（m）此解析式形式是两点式，由的大小确定开口方向，由附加条件m知开口向下，所求的m的值必须大于0，才能符合要求。通过观察，此解析式只有一个待定系数m，若需求出m，是需知抛物线经过某待定的点的坐标，把该坐标的相关数代人，便可求出。本题中的（1）问抛物线C1：y=（x+2）（x-m）过点M（2，2），可把当x=2时，y=2代人抛物线解析式y=（x+2）（x-m），即2=（2+2）（2-m）可求出m=4且符合m，于是第（1）问题就这样可解决了。此抛物线的解析式为y=（x+2）（x-4），因为抛物线的解析式为交点式，便可知抛物线与x轴的交点的横坐标为-2，4，即交点坐标为（-2，0）（4.0）两点，事实上，要求出抛物线与x轴的交点的横坐标，可通过令y=0，抛物线解析式变为-（x+2）（x-4）=0求得x1=-2，x2=4。所以与x轴的交点坐标为（-2，0）（4，0）结合图形的已知条件，点B在点C的左侧，即B（-2，0）C（4，0）所以BC=-2-4=6，在本题（2）问题中，要求出ΔBCE的面积，可通过以BC为底OE为高即SΔBCE=求出，OE通过E的坐标得到，而E通过令x=0代人抛物线的解析式y=（x+2）（x-4）得y=（0+2）（0-4）=2，故OE=2。所以SΔBCE=（面积单位）这样，问题（2）在（1）条件下也解决了。
对于问题（3）用到物理镜面反射的相关知识，在实际生活应用中通过用来解决最短距离问题，如图（2）：A、B两点在直线L的同侧，在L上找出点P使AP+BP的值最小。大家知道，通常我们是这样找出点P的，作A（或B）关于直线的L的对称点A?（B?）连结线段BA?（AB?）与直线L的交点就是所求的点P，这时PA+PB的值最小。掌握此方法后，要解决问题（3）中，在抛物线的对称轴上找一点H使BH+EH最小，结合图形图（3）知点B与C已关于对称轴对称，现连结EC与对称轴的交点，就是我们要找的点H，要求出点H的坐标，可通过直线EC解析式与对称轴方程组成方程组来求解，设直线EC的解析式为y=kx+b（k），将E（0，2）C（4，0）的坐标代入y=kx+b得到解得b=2，k=。所以y=.将x=1代入y=.得y=.所以H（1，）。
对于（4）问题，要求“使得以点B、C、F为顶点的三角形与ΔBCE相似”，这样的情况有如下几种：①ΔBCF～ΔBCE；②ΔBFC～ΔBCE；③ΔCBF～ΔBCE；④ΔCFB～ΔBCE；⑤ΔFBC～ΔBCE；⑥ΔFCB～ΔBCE，不同情况要求的图形的位置也不一样，如图（4），若题目没有限定条件“在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，则6种情况都要考虑。根据题目的条件要求，结合图形发现是有两种情况进行分析探究了。
如图（5）当ΔBCF～ΔBCE时则0，2=BE.
作FD轴垂直为D，则BD=DF可设F（x，-x-2）（x）.又因为点F在抛物线C1上，-x-2=（x+2）（x-m）.此时BF==2（m+1）22=BE=2・2（m+1）m=2±2又m=2+2.
关键词问题图式习题教学
中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1002-7661（2016）22-0074-02
所谓“问题图式”，是指由与问题类型相关的原理、概念、解题方法、结构变化和操作程序构成的一个知识综合体。由于图式既表征了抽取出来的一般性命题，又具附属于命题的具体解决思路，因此，在习题教学中，选择典型题及解法作为基本图式，以此为根，从基本的问题着手讨论和研究，形成合理的知识组块和问题图式。教学设计便于引导学生知识的迁移和解决问题能力的产生，利用图式启智，剖析问题结构、优化解题策略、提升思维能力。如何利用课本典型习题进行“问题图式”习题教学，我以一节“直角三角形”习题课为例，谈谈对此的认识和理解。
一、铺路引桥构建问题图式
师：“已知：ABBD于点B，CDBD于点D，P是BD上一点，那么ABP≌PDC”这个结论成立吗？
学生纷纷摇头，表示条件不充分，所以结论不成立。
抛出条件串：（1）AP=PC（2）AB=PD（3）PB=CD（4）APPC。
师：你能在条件串中进行挑选、补充与原题不一样的条件，使结论成立吗？
学生们经过思考之后，得出五种方案：
（1）AP=PC，AB=PD（2）AB=PD，PB=CD
（3）AP=PC，PB=CD（4）AB=PD，APPC
（5）APPC，PB=CD
师：同学们做得很好，我们取条件APPC、AB=PD，改编结论为：PB=CD，结论成立吗？
生1：仍然成立，可借助先前已证得的全等三角形，再根据全等三角形的性质得到PB=CD。
师（继续追问）：若取条件AB=PD、PB=CD，改编结论为：APPC，结论成立吗？
生2：成立，可借助刚才已经得到的两三角形全等得∠1=∠C，又因为∠C+∠2=90埃傻谩？+∠2=90埃APPC。
师：若连接AC，APC是一个什么特殊三角形？
生齐声回答：等腰直角三角形。
【设计思路】该环节设计，通过改变原题的已知条件、运算信息、待求结论的结构，形成“一线三等角”（等角是直角）的“K”字图典型图式，渗透全等三角形性质和判定、等角或同角的余角相等等知识运用，完成全等三角形、直角三角形、等腰直角三角形的三大图形的转化，完成此类题目的解题梳理。
二、化隐为显运用问题图式
问题1：如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形边长分别为a，b，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上。若a=6，b=7，则c=______。
师：你能在这里找到熟悉的图形吗？
学生的积极性被点燃起来，由于前面打下的基础，很快就有学生观察到CBN≌NEH，再借助“正方形的四边相等”和勾股定理易得到：
问题2：如右图，是由两个全等的长方形拼成的字母“L”，其中B、C、D在同一条直线上，你能借助图中的顶点画出一个等腰直角三角形吗？请说明理由。
问题3：是个操作题，由于它是结论开放性题目，所以每个学生都能根据自己的实际水平解决它，因此他们解题热情高涨，大多数学生很快就找到满足要求的BHC、ECD。教师询问还有没有时，有部分学生反应敏捷，略一思索，把第三个答案ACF也找到了。很显然第三个答案的得出，得益于引题的启发。（具体见下图）
【设计思路】利用问题图式，使隐含条件外显，问题障碍减弱，难度系数降低，“K”字图在解题过程中更显结构化，促进解题高效完成。
三、变静为动激活问题图式
问题：如图，ABBC，DCBC，垂足分别为B、C，点P为线段BC上一动点。（1）当AB=1，CD=4，BC=5时，线段BC上是否存在点P，使APD为等腰直角三角形？如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由。
由于动点题型八年级的学生接触不多，所以教师可借助几何画板，在BC上任选一动点P，构造APD，让点P在线段BC上自由运动，在运动的过程中，让学生观察是否有等腰直角APD存在。
学生通过观察，认为存在，当点P如下图示，APD为等腰直角三角形。并根据假设APD为等腰直角三角形时，可得ABP≌PCD，BP=CD=4。
师：BP的长度与AB、BC有关吗？
生齐声回答：无关。
师：如果无关，那么老师可否让AB=1，BC=6？
学生们略微思索之后，回答不行，因为题中PC=AB=1，那么BC只能为5。
师趁机抛出引申问题：在上图中，当AB=a，CD=b，BC=c时，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线BC上存在点P，使APD为等腰直角三角形？
例1、（人教版选修2-1，P47.例6）点M（x，y）与定点F（4，0）的距离与它到直线l：的距离的比是常数，求点M的轨迹。
其实由
并化简就可得点M的方程为
接着不失时机引导学生看题设，提出问题一：若把定点F（4，0）的坐标改为F（3，0），则推得M的轨迹方程又是什么形式？易得到M的轨迹方程为，这是椭圆的非标准形式。为什么条件一改方程式就非标准呢？提出问题二：难道题目中使椭圆方程为标准型的数据是一种巧合吗？正当学生们疑惑时，老师可引导学生重新审视原例题中的数据和椭圆标准形式：，注意到定点F（4，0）恰为椭圆焦点，直线l：就是这条直线，比值恰好为椭圆离心率的值。于是有：若点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到定直线l：的距离的比是常数，则点M的轨迹是一个椭圆（方程为标准型），这是椭圆的第二定义。老师趁势提出问题三：为什么在椭圆外出现这样一条直线呢？这时只需引导，让学生们重新阅读教材P39椭圆第一定义的标准方程的推导过程，发现方程式中：
…………①
若把①式再进一步变形，可得：…………②
式②中右边恰好表示点M（x，y）到点C（c，0）的距离，而左式中则表示M（x，y）到直线的距离，又马上得到。
于是椭圆的第二定义自然水到渠成，这正好也验证上面例题得出的结论（第二定义），此时直线也就自然而然地存在，并不是什么魔术师变出来的，这也说明了椭圆的第一
定义与其第二定义存在着内在联系。
紧接着，又引导学生观察②式，提出问题四：又可发现什么新公式？则有：动点M（x，y）到右焦点的距离就是，同理可得，于是焦半径公式顺产了，同时有，这又一次复习了椭圆的第一定义。与都是的一次函数，直观地体现了椭圆上动点到右焦点距离的最大值为，最小值为。焦半径公式准确地揭示了椭圆的第二定义的作用，体现了化归思想，将二维问题化归为一维数轴来处理。
通过典型例题分析，创设问题，步步为营，引导学生推广探究，揭示问题的本质，继而再寻求解决问题需要的知识结构，挖掘例题功能，发挥例题在新旧知识间的承接作用，推陈出新，激励学生求异创新意识，培养学生数学的探究能力。
例2，（优化设计人教同步练习P27例2）
已知AB是抛物线的过焦点F的一条弦，设，，求证：
设直线斜率为，则由得，于是由韦达定理得
当直线斜率不存在时，直线AB：，则也满足，由此得结论1：过抛物线焦点的弦的两端点纵坐标之积为常数，此时改变设问：A、B两点的横坐标之积也会是常数吗？
让学生们动手，则会发现很多学生在以上方程组中消去得到，于是马上得到结论：，
也有学生由，得，结合，得到同样结果：，其实这两种方法都是很好的，从而可得结论2：过抛物线焦点的弦的两端点的横坐标之积也为常数：。
如图2，可引导学生看图强调就是A、B两点的横坐标，若过A、B分别作轴的垂线，垂足为M、N，则，，，设问：这三个数值有什么关系？其实只要联系结论2，不难得到结论3：，，成等比数列。此时，加以拓广变形：设问若直线AB是过点，会有相同结论吗？有了结论3的的铺垫，则学生们很快也会猜想，，也仍成等比数列，完成此练习题也就不成问题。再让学生们熟悉课本69例4的求弦长问题，至此又问：同步练习例2的弦长如何求得？于是师生动手，结合抛物线的定义可知，又有韦达定理。于是可得结论4：弦长。
若不存在时，，可得通径
若AB所在的直线的倾斜角为，则弦长又可表示为，至此可以看出解得的关键还是韦达定理，只是提出的问题不同而已。
若将问题进一步引伸，又可问：例2中的问题改为求的面积？
当即轴时，取得最小值。
通过一题多问，一题多解，不断提出新的问题，使学生从一点出发，获得同一类习题的解答方法，不但训练了思维能力，而且得到相应有用的数学结论，也激发学生的探究数学问题的热情。
总之，数学教学的最终目的是为了使学生能运用所学的数学知识解决问题。因此，教师要结合教材，精心设计问题，通过解法指导，才能让学生在掌握基础知识、基本方法、基本技能的前提下，学会从多个角度提出新颖独特的解决问题的方法，培养他们解决问题的实践能力，发展他们的创新思维，使他们具有敏锐的观察力、创造性的想象、独特的知识结构以及活跃的灵感等思维素质，提高数学的探究能力。
[参考文献]：
一、结合生活实际创设问题，培养学生应用数学的意识
小学阶段的数学教学以培养学生的数学基础知识为主，计算方面的例题和练习题较多，实施素质教育后，小学数学课本有了较为明显的变化，以往脱离实际背景的纯数学问题和应用问题少了，加入了一些接近学生生活和日常生产的实际问题。小学数学教师要充分利用课本的变化开展教学，在教学活动中注重培养学生的问题意识。从另一个角度来看，数学是以现实实际的空间形式和数量关系作为研究对象的，很多数学概念、规律、定理都是从现实生活和生产中总结出来的。因此，教师要善于结合实际生活和生产来编制一些数学问题，创设贴近实际的问题情境，使学生体会到生活中的各个方面都有数学的影子，进而激发他们学好数学去解决实际问题的主动性，这样做能够将学和用充分结合起来，非常有助于培养学生的数学应用意识。比如，在教学“垂线段”这一节内容时，为了让学生认识到学习这些知识的用处和价值，笔者创设了这样的问题情境：晓岚家离公路不太远，为了方便家人出行，晓岚爸爸想修一条水泥路直通到公路，但是不知道哪种方案可以使路程最短。之后教师可以画出一个简单的平面图，让学生尝试着在图上标出路程最短的路线并说出理由。通过创设生活化的问题情境，学生不仅掌握了“从直线外一点到直线的所有连接线段中，垂线段是最短的”这一知识点，而且体会到了学习这个知识的目的，使他们具备了用垂线段知识解决生活中实际问题的能力。
二、引导学生从日常生活中发现数学问题，强化应用的意识
大部分小学生不了解数学知识的作用，以及数学知识的应用范围，很大一部分原因是因为他们不注意从日常生活化和生产中发现数学问题。发现不了问题，学生自然不会主动运用所学知识去解决问题，他们的应用意识和能力也就得不到培养。因此，在小学数学教学中，教师要善于引导学生从生活中去发现数学问题，并让他们结合所学知识分析和解决这些问题，这既能够帮助学生巩固和运用数学知识，也能够培养他们的数学应用意识。比如，在学习了“长方形和正方形的面积公式”后，大部分学生都能够解决课本上的练习题，但是他们对面积的认识也只停留在课本上，不知道生活中的哪些方面会运用到这些知识，如家里的居住面积是多少，很多学生都不知道。因此，在教学完这部分知识后，教师可以组织学生讨论一些实际问题，引导学生在日常生活中发现数学问题。如让学生思考“家里的居住面积是怎样得出的？需要具备哪些条件？”待学生讨论得出后，教师就让他们回家测量自己卧室的面积。这样他们就会考虑自己卧室的形状，以及需要测量哪几条边的长度，测量出的长度应使用什么单位，怎样计算，等等。通过适时的引导，学生会从生活中发现一些数学问题，而且他们会主动去解决这些问题，在此过程中巩固了所学知识，也具备了应用这些知识的能力。此外，在小学数学教学中，教师要引导和鼓励学生主动提问，尤其是鼓励他们提出一些与生活、生产实际相关的问题，进而使学生在解决问题的过程中体会到学习数学的乐趣和价值，并对数学学习产生浓厚的学习兴趣。
三、让学生走出课堂，通过实践发展应用数学的能力
培养小学生数学应用意识的一个重要途径就是让他们走出课堂，通过亲身实践，体会数学与现实生活的联系，因此，数学教师要多研究课本，挖掘有价值的专题活动、课外活动，让学生通过实践和操作逐步提高数学应用能力。比如，教师可以组织学生测量教学楼的高度，活动步骤大体如下：①分组，讨论各种不同的测量方法。②小组分工，分别用不同的方法测量。如直接测量教学楼的高度；先测量每层楼的高度，再计算教学楼的高度；用相似知识求教学楼的高度；用光线反射知识测量教学楼的高度等。③对各种测量方法是否简易可行，以及测量的结果是否准确等进行比较、质疑、评价。④推选小组代表向全班介绍测量的方案、过程和结果。再如，大部分家庭除日常开支外，会有一定的节余，把节余的这些钱存入银行，教师可以组织学生到就近银行调查存款利息情况：了解定期储蓄半年期、1年期、2年期、3年期、5年期的年利率；了解本金、利息、本息和、利息税等名称的含义。之后让学生解决问题：小明同学的家长为他准备1万元，作为5年后读大学的费用。家长打算把这1万元存在银行，5年后领出来，有如下几种存款方案供他选择：（1）“1+1+1+1+1”型，即存1年期，到期后连同本息做续存1年期，如此重复，直止5年。（2）“2+3”型，先存2年期，到期后连同本息再续存3年。（3）“4+1”型，先存4年期，到期后连同本息再续存1年期。（4）“5+0”型，即直接存年。虽然1+1+1+1+1+1=2+3=4+1=5+0，但在上述各方案中，5年后所得的的本息和并不相同，教师可以让学生从中选择一个最佳存款方案。
四、结语
一条直线是由两个独立的量决定的，如直线方程l：y=kx+t（k，t∈R），直线是由斜率k和轴上的截距t来决定的；两个量确定了，直线就随之确定了，只要有一个量不确定，直线l就在变动.
椭圆也是由两个量决定的，如椭圆标准状态下的方程C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），当a、b两个量确定了，椭圆也就随之确定了，只要有一个量不确定，椭圆C就在变动.
因此，在编制直线与椭圆的位置关系问题时，当k，t，a，b四个量都已知的情况下，直线与椭圆的位置关系也就确定了，即可命制问题1：已知k，t，a，b这四个量，判断直线l与椭圆C的位置关系；逆向问题2：若已知直线l与椭圆C的位置关系，k，t，a，b这四个量中已知三个量，则可求出第四个量的取值范围；问题3：若已知直线l与椭圆C的位置关系这一条件，但k，t，a，b这四个量中只已知二个量，则由位置关系这一条件可确定未知两个量间的等式关系，从而可设问直线系过定点，或椭圆系过定点的问题.
根据量的相互确定的关系，我们不难编制出一串问题：
若直线l与椭圆C相交，不妨设两交点为A，B；椭圆C的左右焦点分别为F1，F2.
（1）若已知直线的斜率k，椭圆方程中的a，b值，现要确定直线l中t的值，则必须给出一个已知条件，才能确定t的值.如给出满足条件：OAOB（O为坐标原点）；∠AOB为锐角（钝角）时；AOB的面积值；AOB的重心恰好为椭圆的右焦点F2；弦|AB|的长；等等，求t的值；
（2）椭圆上是否存在两点关于直线对称，若有，求出t的取值范围；
（3）直线与x轴的交点为P，求满足|PA||PB|=2时t的值；
（4）是否存在t的值，使得AMP与BCN两重心连线平行于x轴；
（5）是否存在t的值，使得AMF1与BNF2两重心关于原点对称；
（6）是否存在t的值，使得|AP|=|BQ|AB与PQ的中点重合；
（7）是否存在t的值，使得|CA||CB|=12；
（8）试分析|AF1||BF2|取值范围的情况；
（9）引入AB的垂直平分线，再编写问题；
（10）是否存在t的值，使得OA+OB
与MC共线？
（11）过点A作椭圆的切线交x、y轴于两点G、H，连接GQ，是否存在t的值，使得GQ与椭圆相切？
……
通过编题的方式，让学生进一步领会解析几何问题的本质，以把握问题的核心思想、本源；领会已知“量”与未知“量”之间的相互制约关系，让学生形成解决解析几何问题的思想方法.从一定的高度来审视问题，能更好地从宏观的角度审视问题，达到一目了然地得出问题的解决方法.
例如：如右图，椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）
的离心率为12
，其左焦点到点P（2，1）的距离为10.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求ABP面积取最大值时直线l的方程.
现从“量”的角度来分析：第（1）问要求椭圆C的方程，即要确定椭圆方程中a，b这两个量，两个未知“量”就要有两个已知“量”才能确定，因此，题目中一定给出两个相关的已知“量”，从题目中不难找出那两个已知“量”——“椭圆的离心率为12，其左焦点到点P（2，1）的距离为10.”解题时只要列出已知“量”与未知“量”的关系等式，用方程就可解决了；第（2）问要求直线l的方程，即要求出确定直线方程的两个“量”——“斜率k和截距t的值”，从方程思想考虑，要给出两个已知“量”，但问题中直线是在变动的，斜率k和截距t的值都在变动，不过在变动的过程中，由题中给出的条件：“不过原点O的直线l与椭圆C相交于两点A，B，且线段AB被直线OP平分.”由此条件，我们不难得到直线的斜率k和截距t存在某个等式关系.因此，ABP面积只与直线中的一个“变量”存在函数关系，即通过一变元的函数问题，求出ABP面积的最大值，以及此时直线中“变量”的取值，最后确定出直线l的方程.
解析：
（1）由题得e=ca=12.①
左焦点（-c，0）到点P（2，1）的距离为d=（2+c）2+12=10.②
由①②可解得a2=4，b2=3，c2=1.
所求椭圆C的方程为x24+y23=1.
（2）易得直线OP的方程y=12x.设A（xA，yA），B（xB，yB），R（x0，y0）.其中y0=12x0.
A，B在椭圆上，
x2A4+y2A3=1，
x2B4+y2B3=1
kAB=yA-yBxA-xB=-3xA+xB4yA+yB=-34·
2x02y0=-32
.
设直线AB的方程为l：y=-32x+m（m≠0），
代入椭圆方程x24+y23=1，
得3x2-3mx+m2-3=0
.
显然Δ=（3m）2-4×3（m2-3）=3（12-m2）>0.
-23
由上又有xA+xB=m，yA+yB=m2-33.
|AB|=1+k2|xA-xB|=
1+kAB·
（xA+xB）2-4xAxB=1+k24-m23.
点P（2，1）到直线l的距离为d=|m-4|1+94，
SABP=12d|AB|=12|m-4|4-m23=36（4-m）·12-m2，
当且仅当m=1-7时，三角形的面积最大，此时直线l的方程为
【关键词】CAN现场总线学习积极性独立CAN控制器试验板
【中图分类号】G71【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2013）01-0049-02
1.引言
CAN现场总线是一种多主方式的串行通信总线，由于其采用独特的设计，与一般的通信总线相比，具有突出的可靠性、实时性和灵活性，在工业控制领域中占有重要地位[1]。CAN现场总线的标准是开放的，而且其参考资料也比较齐全，学习CAN现场总线以后，对理解和使用其它现场总线具有重大的促进意义[2]。我担任了本科自动化专业《CAN现场总线》这门课的教学任务，在教学过程中，我发现学生的学习积极性不高，参与性不强。通过与学生的交流，我发现学生对所讲授知识的某些方面难以理解，因而没有学习的兴趣和动力[3]。
2.教学中所存在的问题
通过与学生的交流，我发现学生对CAN总线通讯协议的理解还是比较到位的。比如：对CAN总线的多主机、多播、远程数据请求等概念、非破坏性优先权逐位仲裁、帧类型、错误及处理等技术标准的理解。
而学生难以掌握的内容主要集中在对SJA1000独立CAN控制器的使用上。主要包括：
（1）对报文滤波的概念理解不是很清晰。这点在SJA1000独立CAN控制器的使用上主要表现为：不知道如何根据需要设置SJA1000的验收代码寄存器和验收屏蔽寄存器的值。
（2）不熟悉SJA1000独立CAN控制器TX0、TX1、RX0、RX1管脚的使用及其初始化设置。
（3）不知道SJA1000独立CAN控制器三种错误中断（即总线错误中断，错误消极中断和错误报警中断）的不同和处理方法。
（4）不清楚SJA1000独立CAN控制器的初始化过程。
3.针对问题所提出的解决方法
通过分析，上述问题出现的主要原因是受到教学条件的限制，只有理论讲授而没有实践环节，学生没有学习的兴趣，感觉所学知识比较空洞、难以理解。
针对CAN现场总线教学中出现的问题，通过与其他老师的交流和查阅资料[4]，我设计了CAN现场总线试验板[4]，如图1所示。我们可以使用一块试验板进行不同独立CAN控制器的通讯试验，也可以用多块试验板进行相同独立CAN控制器的通讯试验。
结合所设计的CAN总线试验板，我提出了相应的解决方法：
（1）针对学生对报文滤波的概念理解不清晰的问题。在加强概念细节讲授的同时，我们总结出了设置SJA1000的验收代码寄存器（ACR）和验收屏蔽寄存器（AMR）的口诀：对于该节点接收的所有数据帧和远程帧的识别码，验收代码寄存器，值相同的位写其值、不同的位随便；验收屏蔽寄存器，值相同的位写0，不同的位写1。其操作过程如图2所示，图中x表示任意值。同时，我们让学生在编好的程序中自己根据理解修改SJA1000的验收代码寄存器和验收屏蔽的值，拿几块CAN试验板进行通讯，验证其设置值的正确性。
（2）对于学生不熟悉SJA1000独立CAN控制器TX0、TX1、RX0、RX1管脚的使用及其初始化设置的问题。经分析，现在的SJA1000独立CAN控制器都与独立的CAN收发器一起使用，所以我们只使用TX0和RX0管脚用于SJA1000和独立CAN收发器之间的通讯，因而SJA1000的输出控制寄存器（OCR）一般设置为00011010B（二进制）。
（3）针对学生不知道SJA1000独立CAN控制器三种错误中断的不同和处理方法的问题。分析可知，这主要是大部分资料都是直接翻译其数据手册，解释不清晰，所以学生难以理解。我们把此问题总结如下：当CAN节点出现5种错误（位错误，填充错误，CRC校验错误，应答错误，格式错误）中的任何错误时就产生总线错误中断，其一般的处理方法是软件复位SJA1000独立CAN控制器；当SJA1000的接收错误计数（RXERR）器或发送错误计数器（TXERR）的值大于报警计数器（EWLR）的值，就产生错误报警中断，根据高级CAN通讯协议的习惯[5]，我们采取的基本处理方法是控制一个红色发光二极管以1Hz（占空比1：1）的频率闪烁。当SJA1000的接收错误计数器或发送错误计数器的值大于127时，产生错误消极中断，其处理过程一般为监测接收错误计数器或发送错误计数器的值，当值达到255时，控制闪烁的红色LED灯进入常亮状态。
（4）针对学生不清楚SJA1000独立CAN控制器的初始化过程的问题。我们总结了SJA1000的初始化步骤：①进入复位模式，②初始化命令寄存器（模式选择、波特率、输出控制），③初始化验收滤波寄存器和验收屏蔽寄存器，④初始化中断，⑤清空接收错误计数器、发送错误计数器和错误代码捕捉寄存器，⑥进入工作模式。同时，我们让学生在编好的程序中自己根据理解修改SJA1000的初始化程序，并在一块试验板上与已经调试成功的MCP2515现场总线模块通讯，验证其初始化过程的正确性。
4.总结
上述问题的解决方法在实践教学中应用之后，对学生解决CAN现场总线学习中所遇见的问题有很大的帮助。特别是把CAN现场总线试验板应用于教学过程后，学生的学习兴趣更加浓厚，对所遇到问题的理解更加透彻，对CAN现场总线用途的认识更为深刻。希望在以后的教学过程中不断改进，提出更好的教学方法，来激发学生的学习兴趣，增强学习效果。
参考文献：
[1]吴钦伟.工业仪表与装置智能化网络化的进展[J].自动化博览.2001，18（5）：1-6.
[2]牛跃听，周立功，方丹.CAN总线嵌入式开发：从入门到实战[M]，北京：北京航空航天大学出版社，2012.52-59.
[3]唐永红，郑金吾.现场总线在实践教学中的应用[J].现代电子技术.2009（22）：170-172.
一、培养分析问题的能力
例1.一种产品的成本原来是a元，在今后m年内，计划使成本每年比上一年降低p%，写出成本随年数变化的函数关系式。
通过学生思考、演练、发现有如下几种解答情形：
(1)设m年后的产量为y，则y=a(1-p%)m
(2)设第m年的产量为y，则y=a(1-p%)m
(3)设第x年产量为y，则y=a(1-p%)x()
分析：对解法(1)，题意理解不清，实际需写m年内的任某一年的函数关系，而假设是指m年后的产量，与题意不符。对解法(2)，①题设中m为某一确定常数，而假设中m为变量；②、式y=a(1-p%)m中m为自变量，由题意知m≤m(今后m年内)，定义域不知为何；③、显然，自变量知m可取无限个数，这与现实不符，因计划只能定义在有限多少年内。对解法(3)，有如下推导：原来的年产量为a，则第一年产量为y1=a(1-p%)、第二年产量为y2=a(1-p%)2…、第n年产量yn=a(1-p%)n，它构成一个等比数列，首项为y1=a(1-p%)，公比为q=1-p%，由此可得函数关系式为y=a(1-p%)x()。
反思：造成上述解法错误或不完整的原因
(1)指数m与m年内两概念混淆；前m指自变量，后m指某一确定常数。
(2)不知建模或不知如何建模，仅凭感觉。
(3)对题意理解不透，没有探索只是相当然。
(4)对函数概念本质不甚理解。
通过错解纠错，概念简述，弄清问题实质。
二、培养学生的发散思维能力
例2、已知函数，当x取何值时，函数有量小值并求出最小值。
作变形，得，稍作提示得到如下多种结果：
(1)设A(-2、-4)、B(3、-2)、P(X、0)，则y=|PA|+|PB|由图易知，且X=4/3
(2)设z1=(x+2)+4i、z2=(3-x)+2i，y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|5+6i|=，有最小值，此时x=4/3。
(3)设z1=(x+2)+4i，z2=(3-x)-2i，则y=|z1|+|z2|≥|z1+z2|=|5+2i|=，即函数有最小值，此时x=8。
(4)设z1=(x+2)+4i，z2=（x-3）-2i，则y=|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|5+6i|=，此时x=4/3
(5)设z1=(x+2)+4i，z2=(x-3)+2i则y=|z1|+|z2|≥|z1-z2|=|5+2i|=，此时x=8，
分析：明确肯定(1)正确，却对(2)、(3)、(4)、(5)、学生就感到惊讶，模棱两可，认为思路相同，方式一致，找不出存在的问题。
发散一：(一)(2)、(3)、(4)、(5)形式一致，本质是否相同？(二)(2)与(3)、(4)与(5)的假设略有不同，是否为问题的症结？(三)|z1|+|z2|≥|z1+z2|，|z1|+|z2|≥|z1-z2|中等号成立的条件各是什么？解法是否与其相符？学生恍然大悟，得出|z1|+|z2|≥|z1+z2|等号成立的条件是向量z1与z2共线且同向，即存在实数a>0使得z1=az2；|z1|+|z2|≥|z1-z2|等号成立的条件是向量z1与z2共线且反向，即存在实数a
发散二：假设中的复数本身的实部与虚部能否互换？到此，问题已充分支解，前途一片光明。
三、提高观察，创新思维能力。
教学过程中，不但要引导启发学生正面接受知识，解答问题，而且还要针对实际，结合学生认知的“漏洞”和思维的“盲区”，对学生易于出现的错误，及时展示给学生，让学生在讨论中探究错解出现的原因，从而做到调动学生学习的积极性，克服依赖性，从而提高学生的观察、创新思维能力。
例3、已知双曲线3x2-y2=3，过点P(1、1)能否作一直线L与所给的双曲线交于两点A、B，且使P恰好为线段AB的中点？
先让学生思考，最后启发提问，学生不难说出本题的两种解题思路，然后教师可展示出两种解法。
法一、设直线L的斜率为K，则直线L的方程为y-1=k(x-1)，将其与双曲线方程联立，消去y得(3-k2)x2+(2k2-2k)x-(1-k)2-3=0，(x1+x2)/2=(k-k2)/(3-k2)=1，解得k=3
所求直线L的方程为y=3x-2
法二、设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有3x12-y12=33x22-y22=3
两式相减，得3(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0
又x1+x2=2，y1+y2=2
(y1-y2)(x1-x2)=3
kAB=3，从而得直线L的方程为y=3x-2
（师）：这两法都很好!它是处理直线和二次曲线相交弦有关问题的常规方法，法一巧妙地利用了韦达定理，法二通过分离斜率，简捷明快，但请大家注意观察这两种解法是否还存在缺陷呢？(学生演算或发表议论，有学生站起发表看法)
（生1）：所得直线y=3x-2与已知双曲线没有交点，所以所求不对。(教师以赞赏的表情给予肯定)
（生2）将x=1代入已知双曲线方程得y=0，即坐标为(1、0)的点在双曲线上，且为右顶点，所以点P(1、1)在双曲线的外部，所以以P为中点的弦不存在。
（师）：既然以P为中点的弦不存在，那为什么又确切地求出了直线L的方程呢？(学生议论)
（生3）：在解1中，得到的关于x的一元二次方程，还需考虑判别式>0，从而得出K的范围，而K=3不在其范围之内；对于解法二，只是“设”而不求，不知A、B两点是否存在，应联立所得直线与双曲线方程，判断是否有交点。
（师）：同学们回答得很好!两种解法出错的根源在于忽视了题设的存在性，忽略了某些环节。那么点P与双曲线的位置关系如何时，才能存在所求直线？
（生4）：点P只有在双曲线内部时才存在所求直线。
（师）：大家想一想，这种方法还适用于直线与哪些二次曲线相交的问题(讨论)
创新是一个民族生存、发展与进步的灵魂，就如何在数学课题教学中培养学生的创新精神，谈点粗浅的见解和尝试。
一、鼓励参与，培养主体意识
数学教学过程中学生的主体地位指学生应是教学活动的中心，教师、教材等一切教学手段，都应为学生的“学”服务。学生在教学活动中居于主体地位，是整个教学活动的中心，但这并非就是说教师无足轻重，可有可无，事实上，教师是全部教学活动的组织者，是学生主体地位得以实现的外因。如在复习曲线对称问题时，（1）提出问题：点（x，y）关于点（a，b）的对称点坐标：曲线f（x，y）=0关于点（a，b）的对称曲线是什么？由学生思考，学生回答，教师讲解。（2）例1：设抛物线y=x2-1上存在关于直线L：x+y=0对称的相异两点，求这两点坐标。师生共同分析点关于直线对称问题一般解法及特殊直线的特殊求法，由学生回答。（3）若改y=x2-1为y=■x2-1抛物线上是否还存在关于直线对称的两点，如何来判断呢？（4）若改y=x2-1为y=ax2-1抛物线若存在直线x+y=0对称的两点，求a的取值范围。与学生一起板书过程，可解得a>■。再探索另一种解法，设垂直于x+y=0的直线为y=x+m代人y=ax2-1后求解指出：解题的关键是利用点关于直线对称的性质，寻找不等式。（5）练习已知椭圆■+■1试确定m的取值范围，使得椭圆上存在两个不同的点关于直线y=4x+m对称，最后小结。
二、创设问题情境，培养问题意识
我讲课注意挖掘教材中具有创新价值的问题，引导学生思维发展。
如在进行“直线和平面垂直的判定定理”教学时，传统处理方法是给出定理，画好图形，把课本上证明讲解一遍。我们可以作如下设计：
第一步，提出问题：在水平的地面上竖起了一根电线杆，现在请大家想一个办法，检查一下电线杆是否与地面垂直？
第二步，设计解决方案：学生将电线杆抽象为一直线，地面抽象为一平面，根据直线与平面垂直的定义设计方案如下：用一块三角板，让一条直角边贴紧电线杆，直角顶点靠地，旋转一周，如果靠地的一边始终在地面上，则可以断定电线杆和地面垂直，否则电线杆与地面不垂直。
第三步，问题的发展：教师在肯定方案正确性和可行性基础上，让学生提出新的问题：是否有比这个更方便易行的方案呢？如果有一个人没有让三角板旋转一周，而只是检查了两个位置且都和地面贴的好，他就断定电线杆和地面垂直，你们认为正确吗？
第四步，问题的深化：教师要求揭示此问题的实质，并用数学语言加以表述：如果一条直线和平面相交，且和平面内过交点的两直线都垂直，它是否与这个平面垂直？
第五步，设计新问题的解决方案：教师首先让学生利用身边的三角板和铅笔做模型作验证，发现确是垂直的，然后师生共同研究制定理论上的证明方案。
第六步，回到最初的问题，给出合理的解答。
三、进行建模训练，培养应用意识
如在复习函数应用题时，选择典型题目，开展专题讲座，让学生进行建模训练，提高学生的建模水平。例如：
例1．某商人如将进货单价8元的商品按每件10元出售时，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提高1元，其销售就减少10件，问他将价格每件定为多少元时才能使每天赚得利润最大？并求出最大利润。
构建“函数”模型来解决。答案：售出价14元，最大利润360元。
四、改革传统的教学模式，培养学生的创新意识
1.培养追求新奇的好奇心
教师的现任之一就是要保护和发展学生的求知欲，实践表明，教学中充分激发和利用学生的好奇心对提高教学效果是十分有益的，如用现代教学手段增强新奇感（应用多媒体演示太空星球的运动引入“圆锥曲线”），应用实际生活中的现象增加趣味性（用打桥牌时对牌的分布的可能性的推测引入“概率”）。
2.诱导质疑，挖掘学生的创新潜能
爱因斯坦曾经说过：“提出问题比解决问题更重要”。“提出问题”是学生数学学习的组成部分，鼓励学生提问时教会学生学习的实际措施，也是挖掘学生创新潜能的有效手段，在现在的课题教学中，由于受应试教育思想的影响，课堂上少有学生主动提出“质疑”，发表自己的“意见”，同学之间缺少有价值的“讨论”，师生之间也缺乏“真诚”与“平等”的对话。
教学中应提倡学生问问题，诱导他们问问题，鼓励他们大胆提出问题，鸣别人所不鸣，为别人所不为。同时，要为学生创造良机，鼓励学生对老师，对书本，对课外读物提出质疑，让学生的天赋和才能得到充分的施展。另外，还要给学生提供提问的时间和空间。因为提出问题首先得发现问题，而发现问题就需要学生有时间和空间去思考，让他有机会发现问题，提出问题。
3.鼓励大胆猜想，培养思维的直觉性
乔治·波利亚《数学的发现》一书中曾指出“在你证明一个数学定理之前，你必须猜想这个定理，在你搞清楚细节之前你必须猜想出证明的主导思想。”所以，猜想是点燃创造思维的火花，猜想对于创造性思维的产生和发展有着极大的作用。因为科学上很多“发现”都是凭直觉作出猜想，而后才去加以证明或验证。在数学研究里面，“先猜想后证明”几乎是一条规律。
例2.求和sinx+sin2x+sin3x+…sinnx
分析：这个和式的结构特点是每项正弦函数的角的变化组成等差数列，可以与■+■+…+■=（1-■）+（■-■）+…+（■-■）=■相类比，它指引我们作出猜想：设法把和式中的每一项也拆成两项之和，使所有中间项恰好相消，从而求出结果。
事实上若设S=sinx+sin2x+sin3x+…sinnx两边同乘以2sin■得2sin■*S=cos■-cos■=2sin■*sin■
即■至此，只需通过讨论就可得出结论。
由此可见，在培养思想的直觉性的过程中还可以使学生学会“观察（实验，分析）——猜想——证明”的思考方法。
4.引入开放题教学
数学开放题的教学过程是学生主动构建、积极参与的过程，有利于培养学生数学意识，真正学会“数学的思维”，有利于培养学生的开拓精神和创新精神。
如在高一函数图象的复习中，我曾设计下面一个开放题：
例3.求过点（0，0），（-1，1），（1，1）三点的函数解析式。
关键词常微分方程；分阶段教学；数学建模
中图分类号：G642.0文献标识码：B
文章编号：1671-489X（2016）22-0080-03
ResearchonStagedTeachingofCourseOrdinaryDifferentialEquations//LIXinfu，ZHANGGuang
AbstractInthispaper，accordingtothefeaturesofthecourseOrdi-naryDifferentialEquationsandtheproblemsintheprocedureoftea-
ching，wedividetheteachingprocessforthiscourseintofourstages：
basicknowledgeexplanation，comprehensivetitleexplanation，ac-
tualcaseexplanationandstudentsexplain.Ineachstagethescientific
thinkingmethodsareemphasizedinordertoimprovethestudents’abilitytoanalyzeandsolveproblems，andtheabilityofindependent
researchandinnovation.
Keywordsordinarydifferentialequations；stagedteaching；mathe-maticalmodeling
1前言
常微分方程课程是数学及相关专业的一门核心课程，其先修课程为数学分析与高等代数。这门课程的特点是知识点较整、应用广泛，学完这门课，学生应该可以试着写科研论文，是本科毕业论文的一个非常好的选题素材。因此，通过常微分方程课程的学习，学生应具备解决问题、自主学习与研究、创新的能力。
但是就笔者讲授这门课程所观察，学生对基础知识运用得不好，自主学习研究能力更不乐观。因此，关于这门课程的教学改革非常重要。在这方面，国内专家已有很多实践经验和理论研究结果[1-4]。在借鉴上述教学方法的基础上，结合常微分方程课程的特点及授课中存在的问题，在教学过程中进行分阶段教学的尝试，并在各个阶段授课中重点培养学生的科学思考能力。
2常微分方程课程介绍
课程定位与目标常微分方程属于数学分析的一支，在整个数学大厦中占据重要位置，是定性理论、稳定性理论、动力系统等后续数学研究的基础。常微分方程的研究与其他学科或领域结合出现各种新的分支，如控制论，种群生态学、分支理论、脉冲微分方程等。常微分方程所研究的模型来自于物理、力学、社会、生物、化学及气象等，是数学中与应用密切相关的学科，其自身也在不断发展中，学好常微分方程基本理论与方法，对进一步学习研究数学理论和实际应用均非常重要。因此，通过常微分方程这门课的学习，学生应具备解决问题、自主学习与研究、创新的能力。
课程教学内容常微分方程包含的内容很多，不同教材的侧重点有所不同。天津商业大学使用王高雄等编写的教材[5]，主要包括以下内容。
1）一阶微分方程的初等解法：变量分离方程与变量变换、线性微分方程与常数变易法、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程与参数表示。
2）一阶微分方程的解的存在定理：解的存在唯一性定理与逐步逼近法、解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理、数值解。
3）高阶微分方程：线性微分方程的一般理论、常系数线性微分方程的解法、高阶微分方程的讲解和幂级数解法。
4）线性微分方程组：存在唯一性定理、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组。
5）非线性微分方程：稳定性、V函数方法、奇点、极限环和平面图貌、分支与混沌、哈密顿方程。
课程教学存在的问题通过批改作业、答疑、期末考试及学生毕业论文等途径，发现通过常微分方程课程的学习，学生对最基础部分――方程的初等解法掌握还可以，但是对稍有难度、综合性稍强的题目解决得并不好，自主学习研究能力更不乐观。经分析，主要原因有：对方程的初等解法讲解太多，占用太多时间；对理论知识讲解太细太烦琐，掩盖了重点；针对培养学生解决问题与自主学习能力的教学内容设置太少；对日后学习研究较重要的数值解与非线性微分方程部分讲解太少；综合性题目布置较少，没能督促学生及时复结，知识形不成系统；布置的习题难度不在学生的学习区，太简单或太难，学生没有成就感。因此，如何在有限的课时内将常微分方程的方法原理、思考方式以学生容易接受的方式讲透彻，让学生会利用所学知识科学地思考问题、解决问题、自主研究，是值得思考的问题。
3分阶段教学法实施过程
分阶段教学法简介认知心理学理论认为完整的认知过程是一个“定向―抽取特征―与记忆中的知识相比较”的一系列循环过程，它依赖于来自环境和知觉者自身的知识，而且在人的认知过程中，前后关系很重要，特别是原有知识之间、原有知识和当前认知对象之间的关系[6]。基于这一理论、常微分方程课程的特点及授课存在的问题，将该课程的教学过程划分为4个阶段：
基础知识讲解阶段综合题讲解阶段实际案例讲解阶段学生讲解阶段
分阶段教学法具体实施过程
第一阶段：基础知识讲解。该阶段旨在使学生掌握基本理论与方法，会做简单习题。由教师系统讲授知识点，并针对所讲知识点布置相应习题。
1）对一阶微分方程、高阶微分方程、线性微分方程组的精确解求解部分，针对每种类型讲解方法原理，讲解一个例题，布置一个习题。该部分重点是方法原理。
2）对数值解部分，讲解原理及数学软件求解命令，演示求解操作过程，布置两个习题。同时给学生预留拓展资源供学生自学。该部分重点是会用软件求解。
3）对一阶微分方程解的存在唯一性定理及逐步逼近法一节，重点提炼出证明存在性的逐步逼近法与证明唯一性的方法，避免过多证明细节把学生弄糊涂。同时布置自学任务，如查找其他的存在性定理、唯一性定理并比较，锻炼学生查阅文献的能力。
4）对非线性微分方程一章，重点讲授理论方法，布置相应习题。该部分重点是理解基本理论。
在此阶段，每讲完一章，布置1～2个综合性、一题多种解法或稍有难度的题目，以此来促使学生查阅并总结所学内容，把知识点联系起来。如可布置习题：
②求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）
第一阶段科学思考方法渗透举例如下。
1）把问题特殊化的思考方法。举例告诉学生在解决问题时，首先考虑是否能从特殊情况中得到启示。
【例1】求解高阶常系数齐次线性微分方程：
对一阶常系数方程有解x=eat，故猜测高阶微分方程有eλt（λ待定）形式的解。
【例2】求一阶常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵。
其中，A=（aij）n×n为n阶常数矩阵，x=（x1，x2，...，xn）仅含一个方程（n=1）时，基解矩阵为eat，故猜测方程组的基解矩阵为eAt。
2）利用联系，改造区别的思考方法。举例告诉学生想问题时既要利用事物的联系，遇到区别时又不要放弃，适当修正可能会有意外发现。
【例】已经学过n阶常系数齐次线性微分方程的解法，知道若α为特征方程λn+an-1λn-1+...a1λ+a0=0的单特征根，eαt是微分方程的解；若β为特征方程的k重特征根，eβt，teβt，t2eβt，...，
tk-1eβt是微分方程的k个线性无关解。在求解一阶常系数齐次线性微分方程组的线性无关解时，利用两个方程的联系，是否有类似结论呢？
经验证，若α为系数矩阵A的单特征根，微分方程组有eαtη形式的解，其中η为对应α的特征向量；若β为系数矩阵A的k重特征根，eβtη0，teβtη1，t2eβtη2，...，tk-1eβtηk-1并不是微分方程组的k个线性无关解。
那么能否改造一下呢？可以验证其组合eβtη0+teβtη1+
t2eβtη2+...+tk-1eβtηk-1（ηi满足一定条件）为微分方程组的解[7]。
第二阶段：综合题讲解。该阶段讲解第一阶段布置的题目，旨在帮助学生梳理所学知识，教会学生如何思考问题。并布置几个题目作为练习。
该阶段科学思考方法渗透举例如下。
1）复杂简单化的思考方法。通过举例告诉学生，遇到解法比较复杂的时候，要试着想想是否有简单或是简洁的解法。
【例】求解方程
这是可转化为分离变量方程的典型类型，大多数学生（几乎全部）利用标准做法。
首先求交点，解得：
作变换，原方程转化为齐次方程
。作变换Z=Y/X，则齐次方程转化为分离变量方程。
解分离变量方程得：Z2-Z+1=cX-2。代回原来变量，得原方程通解：y2+x2-xy-y+x=c。
可上述解法较麻烦，要适时引导学生找简单的解法。下面利用恰当微分方程解法：原方程变形为（x-2y+1）dy-（2x-y+1）dx=0，整理得xdy+ydx-2ydy+dy-2xdx-dx=0，分组凑微分得通解xy-y2+y-x2-x=c。可见关于此题，第二种解法非常简单。
2）问题层层剪剥、各个击破的思考方法。通过举例，告诉学生遇到问题不知如何下手时，不要慌张，静下心来查找资料，把问题分解，分别解决每个小问题。
【例】求解方程xy″-2（1+x）y′+（2+x）y=0（x≠0）
这是一个二阶变系数齐次线性微分方程，学生一般会想到广义幂级数解法，经求解发现很麻烦。引导学生换种解法，查阅课本发现关于这类方程的降阶法，但是需要事先找到方程的一个非零解，如何求？引导学生通过查阅文献、网上搜索等途径查找答案，发现课本课后题有要找的答案，从而问题得到解决。
第三阶段：实际案例讲解。该阶段详细讲解两个案例，一个是常微分方程数学建模案例，一个是常微分方程科研论文案例，旨在让学生观摩科学分析与自主研究的过程。选取一个建模案例，详细讲解分析问题、建立模型、利用理论知识分析并用数学软件求解、对所得结果进行分析、对模型进行合理评价及进一步优化的一系列过程。根据自己写科研论文的过程，讲解发现问题、查文献、解决问题、撰写科研论文的整个过程。
第四阶段：学生讲解。该阶段旨在提高学生分析问题解决问题、自主研究的能力。该阶段是第三阶段的一个实训，主要由学生自己来完成。学生根据兴趣自由分组，从题库中选题或自由选题，利用几周的时间完成题目。学生讲解，教师点评。题库由教师查阅资料分类整理完成。
4结语
以上是针对常微分方程这门课程的特点及授课中存在的问题而采取的以培养学生能力为目的的分阶段教学的授课方式。在讲完常微分方程这门课后，把上述想法与班级里几个学习中上等的学生进行探讨，学生一致认为很好，因此下学期准备尝试此授课方式，以期达到良好的教学效果。参考文献
[1]韩祥临，欧阳成.《常微分方程》精品课程的教学改革与教学实践[J].湖州职业技术学院学报，2012（1）：8-11.
[2]刘会民，那文忠，陶凤梅.“常微分方程”课程教学模式的改革与探索[J].数学教育学报，2006（1）：72-74.
[3]何春花，郑群珍，姬利娜.常微分方程课程教学改革的探索与实践[J].河南教育学院学报：自然科学版，2014（2）：
68-69.
[4]万亮.常微分方程的解法与教学改革[J].科技创新与应用，2013（4）：277.
[5]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].3版.北京：高等教育出版社，2006.